Colle N°25: Systèmes d'équations linéaires

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S26 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. CALCULMATRICIEL Op´erations alg´ebriques dansM (K)n,p ⋆ ⋆D´eﬁnition : Soit (n,p)∈ N ×N deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice de n lignes et p colonnes toute famille (a ) d’´el´ements de K. On la repr´esente sous la forme d’un tableau rectangulaire d’´el´ements de K.i,j 1≤i≤n 1≤j≤p D´eﬁnition : Somme de matrices, multiplication externe par un scalaire, transposition et conjugaison. D´eﬁnition : Produit de deux matrices—. Soit (A,B)∈M (K)×M (K), on d´eﬁnit la matrice A×B∈M (K)n,p p,q n,q par : pX ∀(i,j)∈ [1,n]]×[1,q]], (A×B) = a ×bi,j i,k k,j k=1 Th´eor`eme.— Propri´et´es du produit de matrices SoitA,B,C des matricesa` coeﬃcients dansK. Pourvuque les produits et sommes ci-dessoussoientbien d´eﬁnis,ona : 1. A×(B×C) = (A×B)×C 4. λ(A×B) = (λA)×B = A×(λB) 2. A×(B +C) = A×B +A×C 5. Si A∈M alors I ×A = A×I =A.n,p n p 3. (A+B)×C = A×C +B×C 6. A×0 = 0 et 0×A = 0. ´Proposition.— Ecriture matricielle des syst`emes d’´equations lin´eaires Consid´erons le syst`eme de n ´equations lin´eaires a` p incon- nues d´eﬁni ci-contre.  a x + a x + ··· + a x = bNotons A = (a ) ∈ M (K) la matrice des coeﬃcients 1,1 1 1,2 2 1,p p 1i,j n,p a x + a x + ··· + a x = bde (S) et B = (b ) ∈ M (K) la matrice colonne second 2,1 1 2,2 2 2,p p 2i n,1 (S) . . .membre. On a l’´equivalence : . .

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S26

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
CALCUL MATRICIEL

Op´erationsalg´ebriquesdansMnp(K)
De´ﬁnition:Soit(n p)∈N⋆×N⋆entiers naturels non nuls. On appelledeux matrice denlignes etpcolonnes
toute famille(aij)1≤i≤n´le´’dtsdeemenKreai´ed’taeculnglbatruaeemronu’ded´lmenestestnrpe´lsfaseuolare.OnK.
1≤j≤p
D´eﬁnition:externe par un scalaire, transposition et conjugaison.Somme de matrices, multiplication
D´eﬁnition:Produitdedeuxmatrices—.Soit(A B)∈ Mnp(K)× Mpq(K),ond´eﬁnitlamatrcieA×B∈ Mnq(K)
par :
p
∀(i j)∈[1 n]]×[1 q]](A×B)ij=Xaik×bkj
k=1

Th´eor`eme.—Proprie´te´sduproduitdematrices
SoitA B Ctairec`sedmsntsdansacoeﬃcieKsinﬁe´dn:ano,ssoussdeietbenoieleuorpsuoP.quvrmeomi-scitdutsse
1.A×(B×C) = (A×B)×C4.λ(A×B) = (λA)×B=A×(λB)
2.A×(B+C) =A×B+A×C5. SiA∈ MnpalorsIn×A=A×Ip=A.
3. (A+B)×C=A×C+B×C6.A×0 = 0 et 0×A= 0.

´
Proposition.—Ecriturematricielledessyst`emesd’´equationsline´aires
`
Conside´ronslesyst`emedenn´eairesaationslie´uqpincon-
nuesd´eﬁnici-contre.
NotonsA= (aij)∈ Mnp(K) la matrice des coeﬃcientsa11x1+a12x2+  +a1pxp
de (S) etB= (bi)∈ Mn1(K) la matrice colonnesecond(S)a21x1+a22x2+  +a2pxp
membree´uqvilaneec:’lanO.
. .
(S)⇐⇒A×X=Ban1x1+an2x2+  +anpxp

Matricescarre´es
The´or`eme.—Mn(K)+×est un anneau.1

=
=
.
=

De´ﬁnition:puissancessuccessivesd’unematrice
SoitA∈ Mn(K)drerdeo’rre´ecacatriunemnnO.ﬁe´dltinsepuissances successivesdeAence:aprre´ucrr

••∀Ak0∈=INn Ak+1=A×Ak

b1
b2

De´ﬁnition:polynoˆmesd’unematrice
SoitP∈K[X]sduannientnoˆeoﬃmcep`oalycsK:P=apXp+ap−1Xp−1+  +a1X+a0On.etuotruoptinﬁe´d
matriceA∈ Mn(K)la matriceP(A)∈ Mn(K)par

P(A) =apAp+ap−1Ap−1+  +a1A+a0In

Th´eor`eme*.—FormuledeNewtonetidentite´ge´om´etrique—.SoientA B∈ Mn(K) telles queA×B=B×A.
Alorsp
(A+B)p=kX=0kpAk×Bp−k
p
Ap+1−Bp+1= (A−B)×XAk×Bp−k
k=0

1non commutatif lorsquen≥2

Vocabulaire :SoitA∈ Mn(K)dnO.pnu’uqtimeˆoynolP∈K[X]est unlonypnaunoˆemurdelateAsiP(A) = 0.
Savoir-faire :calculer les puissances successives d’une matriceA
◮unemoeunpolynˆtilisantP, annulateur deAilcuneidsivienoiedidadel,`’aalenedXnparP,
◮ntsapo,notweNemoce´dnedelaaideuledforma`’lA=D+Nuo`,Dest diagonale,Nest nilpotente etDN=N D.
◮par recurrence.
´
Savoir-faire :irea’oedteenn´liiussseterdred,2udier´etepouiellucrrree´ustiurenr´eperunerisilutcirtamnoitatnese
r´ecurrenteslin´eairesd’ordre1,imbri´s.
quee
Matricescarr´eesinversibles
De´ﬁnition-Proposition.—rtamceci´rraeeUneA∈ Mn(K)est diteinversibles’il existe une matriceB∈ Mn(K)
telle que :

A×B=InetB×A=In

Si elle existe,Best unique. On l’appelle l’inversedeA, et on la noteB=A−1.

Th´eor`eme.—SoientA B C∈ Mn(K), alors :
1. SiAest inversible, alorsA−1est inversible et (A−1)−1=A.
2. SiAest inversible alorstAest inversible et (tA)−1=t(A−1).
3. SiAetBsont inversibles, alorsA×Best inversible et (A×B)−1=B−1×A−1
4. SiAest inversible, alors
Best inversiblesi et seulement siA×Best inversible.
Best inversiblesi et seulement siB×Aest inversible.
5. SiAest inversible, alorsAilaﬁlb`eetsispm.eitroadt`eechauag

The´ore`me.—Lienfondamentalaveclessyste`mesdeCramer—.SoitA∈ Mn(K).B∈ Mn1(K). On note (S) le
systeme (S)A×X=B.
`

(Ssnsy`tmedeetues)Cramersi et seulement siAest inversible.

Dans ce cas, l’unique solution de (S) estA−1×B.

Th´eo`e.—Inversibilit´edesmatricestriangulaires—.SoitT∈ Mn(K) une matrice triangulaire2. Alors
rem
Test inversiblesi et seulement siles coeﬃcients diagonaux deTsonttous non nuls.

Corollaire.—

SoitA∈ M2(K),A=cdab.Aest inversiblesi et seulement si

A−1=ad1−bc−cd−ab

Th´eor`eme*.—Inversibilite´`agaucheou`adroite—.SoitA∈ Mn(K). Alors

a×d−b×c6= 0. Dans ce cas,

Aest inversiblesi et seulement siil existeB∈ Mn(K) telle queA×B=In
si et seulement siil existeB∈ Mn(K) telle queB×A=In


De´terminationpratiquedel’inverse
Savoir-faire :SoitA∈ Mn(K.V)itilet´eec,l´ease´hc,tnaclacreluousdevezsavoirv´reﬁire’lnievsrbi
mani`eresdiﬀe´rentes:
◮Point de vue SEL
◮Alemhtirog-ssuaGed)ematricengse’dnuuslrseiltaenesir´enseml´re´poitadroJo(na
◮Utilis.urtelanuanmeoˆnylopnu’dnoita
2porteuimre,prieupue´oesueiru´freine!2

A−1

trois

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