Colle N°24: Polynômes à une indéterminée

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MPSI Lyc´ee Rabelais Semaine du 3+11 aouˆt 2011 Programme de colles S24 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. Suites num´eriques (II) Suites de r´ef´erence Proposition*.— Trois relations de comparaison —. Soient u et v des suites de nombres r´eels. On suppose qu’`a partir d’un certain rang n , v = 0. Alors0 n 1. u =O(v ) si et seulement si (u /v ) est born´ee.n n n n n≥n0 2. u = o(v ) si et seulement si lim u /v = 0.n n n n n→+∞ 3. u ∼ v si et seulement si lim u /v = 1.n n n n n→+∞ 6′ ′Th´eor`eme.— Croissances et croissances compar´ees des suites de r´ef´erence —. Soit (a,b,α,α ,β,β ) ∈ R tels ′ ′que 1 0 : l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines r´eelles distinctes, not´ees r , r .1 2 2 n n∃ !(λ,μ)∈ R tel que∀n∈ N, u = λr +μrn 1 2 ◮ Si Δ = 0 : l’´eq. caract´eristique poss`ede une racine r´eelle double, not´ee r0 2 n n∃ !

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MPSILyc´eeRabelias

Programme de colles S24

Semaine du 3 11 ˆt 2011
aou

NB :seulesgie´se.noptsaxelemonssd´eoisnrtta´hoeedts,pesemr`tisiporoiote´snosensee´l

dsete´reiuSerf´ceen

Suitesnum´eriques(II)

Proposition*.— Trois relations de comparaison —.Soientuetva`’uel´eOns.ppsueqossedsrrembnodeesitsu
partir d’un certain rangn0,vn6= 0. Alors
1.un=O(vn)si et seulement si(unvn)n≥n0e.rn´eobtse
2.un=o(vn)si et seulement silimunvn= 0.
n→+∞
3.un∼vnsi et seulement silimunvn= 1.
n→+∞

Th´eor`eme.—Croissancesetcroissancescompare´esdessuitesder´ef´erence—.Soit (a b α α′ β β′)∈R6tels
que 1< a < b, 0< α < α′et 0< β < β′.
1. La suite (na suite ( La) est convergente de limite 1. 4.an) est divergente vers +∞.
2. La suite(lnn)β1est divergente vers +∞. 5. La suite (n!) est divergente vers +∞. De plus,
n≥
3. La suite (nα) est divergente vers +∞ La suite (. 6.nn) est divergente vers +∞.

1. (lnn)α=o(lnn)α′
2. (lnn)β=onα

α=o′
3.n nα
4.nα=oan

5.an=obn
6.an=on!

The´ore`me*.—Equivalentsusuels—.Soitu∈RN,α∈R. Sinl→i+mun= 0, alors
∞

Suites classiques

•sinun∼un•1−cosu u2n
n∼2•tanun∼un
•(1 +un)α−1∼αun•ln(1 +un)∼un•eun−1∼un

The´ore`me.—Suiteg´eom´trique.—Soient∈R⋆etq∈Rﬁ´xse.
ea

Unesuiteg´eom´etriquederaisonq∈Rest convergentesi et seulement si|q|<1 ouq= 1.

Soituom´eegitsulanosiaredeuqirte´qet de premier termeu0.Ond´eﬁnitunevuonelletiuson,eeet´Sen posant
n
∀n∈N Sn=Xukeel´eappsuite des sommes partiellesdes termes de la suiteu
.
k=0

Proposition.— Suite des sommes partielles.—La suite des sommes partiellesS
raisonqest convergentesi et seulement si|q|<1. En ce cas :

limSn=u0
n→+∞1−q

d’unesuiteg´eome´triqueude

The´ore`me.—Suitearithm´etico-g´eome´trique.—Soit (a b)∈R2tel quea6= 1 etb6= 0
Soitula suite de premier termeu0∈Rceenrrparlﬁnied´ee´ucdnretaoirale

un+1=aun+b

Soitrtionel’´equadnoitulosalr=ar+b. La suitev=u−rrietedqug´stm´eoeiarenosa.

Th´eor`eme*.—Soit (a b)∈R⋆×R⋆etuune suite de nombres´rslee:eceruercnﬁe´dpeinontir´delaarlare

∀n∈N un+2=aun+1+bun

Notons Δ le discriminant de l’uqtaoicne´tiisequacarert´:r2−ar−b= 0.
◮Si Δ>opssqieuirtstce´carationequa:l’´etcnitsidsellee´srnecirauxdede`e,sontees0r1,r2.
´
∃!(λ )∈R2tel que∀n∈N un=λr1n+r2n
◮eunesedner´raciresica´tpesoituqeeuodellee´ton,elbiΔS:l=0eq’´ar.cr0
`
∃!(λ )∈R2tel que∀n∈N un=λr0n+n r0n
◮Si Δ<dies´egujuonscxesee´ton,setcnits0´’l:oss`ededeq.car.pseocpmeluerxcanir=ρe±iθ
∃!(λ )∈R2tel que∀n∈N un=ρn(λcosnθ+sinnθ)

etsuiSsrtecu´eenrrun+1=f(un)

Proposition.—Etant donnes une fonctionf:I→Itnreurineavll,dsuieﬁn´eIa`ursdavlalleeetmeˆrveamnesicnI,
´
eta∈I, il existe une suite (un)∈RN, unique telle que
•u0=a
(1)• ∀n∈N un+1=f(un)

De plus, (un)∈INedme´lstneteui´ed’steesunI.

Proposition.—Soientf:I→Iet (un)n∈Nt)elasﬁe´detiu1(rapeinh=f−Id:I→R
Sihest positive surI,alors(un) est croissante.
Sihest negative surI,alors(unoicr´etdes).etnass
´

The´ore`me.—casd’uneit´eratricemonotone.—Soitf:I→Iet (un)n∈Nnsupposepar(1).Ouqee´deeinﬁaltius
fest monotone.
Sifest croissante surIalors(un) est monotone.
Sifrsecroitd´etesussanIalors(u2n) et (u2n+1) sont monotones et de monotonies contraires.
Illustration :riatseuqtaeristuations´el´emen

The´ore`me.—casd’uneit´eratricecontinue.—Soitf:I→Iune fonctioncontinuesur un intervalle stableIet
(un)n∈Nlasuitap(r)1.dee´nﬁei

Sila suiteuest convergente versℓ∈I,alorssa limiteℓest une solution dansIn:ioatqu´el’def(x) =x.

The´ore`me.—casd’uneit´eratricestrictementcontractante.—Soientf:I→Iune fonction lipschitzienne de
constantek∈]01[,ℓun point ﬁxe defet (un)n∈NasuilrolAsarep).(1d´tenieﬁ∀n∈Nun+1−ℓ≤kun−ℓ.
Parconse´quent,lasuite(un) est convergente de limiteℓet

∀n∈Nun−ℓ≤knu0−ℓ

Savoir-Faire :utiliser l’egalin´desait´eessiorccinﬁstnemspour montrer quefestk-lipschitzienne.

Suitesd´eﬁniseiilpmetictnem
Savoir-faire :utiliser ler`emh´eoTnoceitbajideleopuissdeerditu´eurilpmiseinﬁe´dset,c’est-`citements-aidered
suitesdontletermeg´en´eralestsolutiond’uneequation:
´

(En)

fn(x) = 0

Exercice 1 :tionfoncocsnnOeraldie`f:]0+∞[→R´dinﬁerape∀x∈]0+∞[ f(x) = 2x e−x
1. Soitn≥ezquel’´equation2M.nortf(x) =n1, admet une unique solution dans ]012´ee,not]an.
2. Montrez que la suite (an)n≥2evnonegrtonocenotmeslamiti.eerminezsteetd´et

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