Colle N°21: Dérivation
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S21
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
DE´RIVATION(1/2)
D´erivabilit´e
De´finition:Soitf:I→Roitcnofenursuiefin´endIeta∈I.festd´iverleabau pointasif(x)−f(a)admet
x−a
−
une limite finie au pointa. En ce cas, on notef′(a lim) =f(xx)−af(a). On dit quefest´dreelusvibarIsifest
x→a
de´rivableentoutpointdeI.
Interpre´tationg´eom´etrique
Th´eore`me.—De´veloppementlimit´e`al’ordre1desfonctionsd´erivables—.soitf:I→Reta∈I.
ftinpo´dreetseluavibaassiil existed∈Rtel quef(x) =f(a) +d(x−a) +oa(x−a)
En ce cas,f′(a)d.
=
Corollaire.—Sif:I→Rtnpuiolbaesee´dtavira∈I,alorsfest continue au pointa.
Corollaire.—
Sif:I→Ruaopnitrevibaeld´stea∈I, etf′(a)6= 0,alors
f(x)−f(a)∼af′(a)(x−a)
Proposition.—Op´erationsalge´briquessurlesfonctionsd´erivables—.Soit (f g)∈ F(IR)2, (λ µ)∈R2. On
suppose quefetgsenesontd´erivabla∈I. Alors
la fonctionλf+µgenleabiverd´steaet (λf+µg)′(a) =λf′(a) +µg′(a)
la fonctionf×gneeri´eblvadtseaet (f×g)′(a) =f′(a)×g(a) +f(a)×g′(a)
′(a)
sig(a)6= 0, la fonctiongfneee´iravlbsedtaetgf′(a) =f′(a)×g(ga)(a−)2f(a)×g
Proposition.—Re`gleded´erivationenchaˆıne—.Soitg∈ F(JR) etf∈ F(IR), telles quef(I)⊂J. Sifest
de´rivableena∈Ietgneed´stiverleabb=f(a), alors la fonctiong◦felbavirenestd´eaet
(g◦f)′(a) =g′(b)×f′(a) =g′◦f(a)×f′(a)
Proposition.—De´rivabilit´edel’applicationr´eciproqued’unebijection—.Soitf:I→June bijection continue
de l’intervalleIsur l’intervalleJ. Sifsteerd´abivelnea∈I, et sif′(a)6ce´rnoiteuqorpi=0,alorslafoncf−1:J→I
estd´erivableenb=f(a) et
f−1′(b) =f′1(a) =f′◦f1−1(b)
ni`
D´eriv´eesemes
De´finition:Soitf∈ F(IR)e´rraptinfie´dno,lescurrence.....2,n,.,d´eridrer,0,1´veedso’deflorsqu’elles
existent par :
•f(0)=f
•Pour tout entiern∈N, sif(n)xeseteetsivari´etdsanedblI, on posef(n+1)=f(n)′
Savoir-faire :´dreteenime’lrrexpiosselnd´eadeev´rinme`einueed’d’liasia`espuiv´ed´ereres`imerpseltnaluclcaen
´
recurrence.
1
Vocabulaire :sifenutemda´eiverd´eneemi`, on dit quefestnfiorivasd´eble. Lorsquefottuseedvie´d´ertdesadme
ordre surI, on dit quefest´dtneminfie´dnierivable. On note pour toutn∈N,
• Dn(IR)l’ensemble des fonctionsnof´dsibaelrevissruI.
`
• Cn(IR)l’ensemble des fonctionsnvari´esddeetesbliof´drevie´eniemecontinue surI.
• C∞(IR)onsfioctinnsefid´ne’lbmesedelleabiverd´ntmenirussI.
The´ore`me*.—Op´erationsalg´ebriquessurlesfonctionsnfod´issvireelba
lin´eairbinaisonoisndefenotcnumocenavire´dssnadselbfioI(resp.de classeCn) l’est aussi,
le produit de fonctionsnfdsioire´lbavdaesnsI(resp.de classeCn) l’est aussi,
le quotient de fonctionsnofsi´derivablesdansI(resp.de classeCnl)st’essaupoi,vuurdee´uqleanetonimurne
s’annule pas
sopmocalnofedee´nsioctnvables(fri´esdoiresp.de classeCn) l’est aussi
aticnriol’plap’deubenuice´qorptionijecf:I→J,nf(eavlbe´iriodsresp.de classeCn) l’est aussi, pourvu quef′
ne s’annule pas dansI.
The´ore`me*.—FormuledeLeibniz—.Soitf g∈ Dn(IR) (resp.de classeCn). Alorsf×g∈ Dn(IR) (resp.de
classeCn) et,
(n)=k=nX0 f(k
f×gnk)×g(n−k)
De´rive´esdesfonctionsusuelles
Th´ ` *.—
eoreme
En notantpαla fonction puissanceαmei`e(x7→xα), nous avons :
D´erive´e
exp′(x) =ex
ln′(x) =x1
p′α(x) =αxα−1
sin′(x) = cos(x)
cos′(x) =−sin(x)
tan′(x) = 1 + tan2(x cos) =2(1x)
ch′(x () = shx)
sh′(x () = chx)
th′(x) = 1−1
th2(x ch) =2(x)
Arcsin′(x 1 1) =−x2
Arccos′(x) =−1
1−x2
A tan′(x) = 1
rc 1 +x2
Argsh′(x+1=)1x2
′(x) 1
=
Argchx2−1
Argth′(x) = 1−1x2
Intervalle
x∈R
x∈R+⋆
x∈]0+∞[
x∈R
x∈R
x∈]−π2 +kπ;π2 +kπ[
x∈R
x∈R
x∈R
x∈]−11[
x∈]−11[
x∈R
x∈R
x∈]1+∞[
x∈]−11[
2
param`tr
e es
α∈R
k∈Z
