Colle N°20: Fonctions continues sur un intervalle

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S20

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE

Notionsdecontinuite´
De´finition:Soitf:I→Reta∈I. On dit que
•festcontinue au pointasilimf(x) =f(a)
x→a
•festne)etio(rheucgadr`ap.esoctnnieua`asilim−f(x) =f(a). (resp .lima+f(x) =f(a))
x→a x→
•festcontinue surIsifest continue en tout point deI.
D´efinition:SoitIun intervalle,a∈I. Soitf:I {a} →R. On dit quefestnetinaurict´oblepngeaorolpau
pointasifadmet une limite finie ena:(∃ℓ∈R)limf(x) =ℓ
6=
x−→a
En ce cas, la fonctionf:˜I→Rde´nfieiapr∀x∈I f(x) =ℓf(sxi)xsi=xa6=aeeeppa´tlsprolongement continu
˜
defena.

The´ore`me*.—Caract´erisationse´quentielledelacontinuit´e.—Soitf:I→Reta∈I.
fest continue enassi∀(xn)∈INnl→i+m∞xn=a⇒nl→im+∞f(xn) =f(a)

Proposition.—Principedeprolongementdesin´egalite´s.—Soitf g:I→R,a∈I. On suppose quef
continues ena.

Sif(a)< g(a),alorsil existe un voisinageVdeadansItel que∀x∈ V f(x)< g(x).
S’il existe un voisinageVdeadansItel que∀x∈ V  {a} f(x)≤g(x)alorsf(a)≤g(a).

Proprie´t´esdesfonctionscontinuessurunintervalle

Th´e`Ope´rationsalge´briquessurlesfonctionscontinues–6-.Soitf g:I→R.
oreme.—

Th´or`eme.—
e

Sifest continue surI, alorsλfest continue surI.
Sifetgsont continues surI, alorsf+gest continue surI.
Sifetgsont continues surI, alorsf×gest continue surI.
Sifetgsont continues etgne s’annule pas surI, alorsfest continue surI.
g

etgsont

Composition de fonctions continues —.Soitf:I→Retg:J→R. On suppose quef(I)⊂J.

Sifetgsont continues, alors la fonction composeeh=g◦fest continue surI.
´

Proposition.—Soitf g:I→Rurssienctiuxfodee´nfieldse´lenorsI,a∈I. Alors






Sifest continue au pointa,alors|f|est continue au pointa.
Sifetgsont continues au pointa,alorsmax(f g) est continue au pointa.
Sifetgsont continues au pointa,alorsmin(f g) est continue au pointa.

Proposition.—SoitIun intervalle (non trivial) deR,Jun sous-intervalle non trivial deIetf∈ C(IR) une fonction
continue surI. La restrictionf|Jdef`aJest une fonction continue surJ.

1

Lesthe´or`emesfondamentaux
Image d’un intervalle par une fonction continue

The´or`eme.—Th´eor`emedesvaleursinterm´ediaires—.Soitf:I→Rune fonction continue sur un intervalleIde
R. Pour tout couple (a b)∈I2,fatteint toute valeurγetmre´idniereaitrenf(a) etf(b), c’est-a-dire :
`
∀(a b)∈I2∀γ∈Rγ∈[f(a) f(b)]⇒ ∃c∈I f(c) =γ

Nb :deusvonaonzcvetıˆrtperaaftimenetrois´enonc´es.
´
Savoir-faire :tdann´oneunesdiooncxtftEfetgalletervuninniefid´russeunitnocteseI, vous devez savoir utiliser le
TVIpourd´emontrerl’existencesolutiond’unetaoined’le´uqf(xlpuo,0=)e´ne´gsuntmelera,f(x) =g(x).
Image d’un segment par une fonction continue

Th´eor`eme*.—Imagecontinued’unsegment—.Soit (a b)∈R2tels quea < betf: [a b]→Rune fonction
continue sur [a b]. Alorsfebost´erntaeesixeli,tettnesttieen.sbsropr´ePlusemencis´α β∈[a b] tels que

Fonction monotones continues

∀x∈[a b] f(α)≤f(x)≤f(β)

Th´eore`me.—The´ore`medelabijection—.SoitIun intervalle deRetfune applicationcontinue et strictement
monotonesurI. Alors

J=f(I) est un intervalle,
f:I→Jest une bijection deIsurJ,
plapl’nrioaticrpqoe´iceuf−1:J→Istriestentmctemeuqtonoeinomˆdeememotone,onf.
f−1:J→Iest continue deJsurI.

´
Savoir-faire :avlltnreeurineuustnniteoctonemonomentictertsnoitcnofenueen´ontdanEtIitilu,eth´serlemeeor`
de la bijection pour :
◮snmelbeeretd´’erlnemiJedisamegs,letableaudevaritaiednopa’lcilpioat´enrprciueoqg:J→I, ses limites aux
bornes de l’intervalleJ
◮ntmo´ed’lrer´el’unicitteecnetsixed’unesle´’qeaulotuoidnontif(x) =c?
Continuite´uniforme
De´finition:Soitf:I→Rune fonction. On dit quefruentcm´emnuesontiefirotsnuIsi :

(∀ε >0)(∃η >0)(∀(x y)∈I2)(|x−y| ≤η⇒ |f(x)−f(y)| ≤ε)

D´efinition:Soitf:I→Rune fonction,k∈
simplementk-lipschitzienne surIsi

R+. On dit quefest lipschitzienne

∀(x y)∈I2|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|

de constante

k, ou

Proposition.—
ctneitnorofime´mesnuurnctionunUnefoIest continue surI.
Une fonction lipschitzienne est uniformement continue surI.
´
Lesr´eciproquessontfausses:
La fonctionf:R+→Rraped´niefif(x) =x2est continue surR+uresnutitnonero´mnufictnomeneR+.
La fonctionf:R+→Rpfieei´ndraf(x) =xitunseruenemontcifunm´ortseR+et non lipschitzienne.

The´ore`me*.—The´ore`medeHeine—.Soitf: [a b]→Rune fonction continue sur le segment [a b]. Alors

f[r´ementcontinuesuseinutmrofa b].

2

plus