Colle N°16: Ensembles ordonnés, propriétés de R
2
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
2
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Nombre de lectures
31
Licence :
Langue
Français
Publié par
Nombre de lectures
31
Licence :
Langue
Français
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S16
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ ´ ´
ENSEMBLES ORDONNES, PROPRIETES DE R
Ensemblesordonne´s
De´finition:SoitRune relation binaire deE. On dit queRest :
exivefle´rlorsque∀x∈E xRx
´etriquelorsque∀(x y)∈E×E(xRy)⇒(yRx)
sym
sym´antiqueetrilorsque∀(x y)∈E2(xRy et yRx)⇒(x=y)
transitivelorsque∀(x y z)∈E3(xRy et yRz)⇒(xRz)
Unensembleordonn´eestuncouple(E)u`oest une relation d’ordre surEe,t-`a,c’eseune-diritnoeralxevi´rfle
antisyme´triqueettransitive.
D´efinition:Soit(E)´enn.nuneesbmelrood
De´euxeml´stnex ydeEsont ditscomparablessi(xy)ou(yx).
´le´selsuoteuqsesdntmeLorEmesnelbmpcontsoue`xdauerabaeldsueestunex,onditqlatonemeterdton´on.
e
Dans le cas contraire, on dit que(E)este´raplemetieldonnntor.
Definition :Soient(E)oelbnodr,e´nteneuemnsA∈P(E)une partie deEetxu´nlee´emtnedE.
´
•xest unmajorantdeAdansE
•xest unminorantdeAdansE
si∀a∈A ax
si∀a∈A ax
•xest unenemtndral´´epgsuldeAdansE si xmajorant´deementetseut´nleA
•xest unpluspeemtnit´tlee´deAdans xE sieunstl´´eeronidtnanememtetA
Vocabulaire :On dit queAest unee´eorajemtipra(resp.ee´ronim) deEs’il existe un majorant (resp. minorant)
deAdansE
Notation :L’ensemble des majorants ( resp des minorants) deAdansE´tontseeMajE(A)(resp.MinE(A)).
Proposition.—Soit (Emesnoelbenu)etrdonn´e,A∈P(E).
SiA(ntme´eeld´angruse`ednulpopssresp.itepsulpnunt)´emet´elα, alors il est unique. On noteα= max(A) (
resp.α= min(A) ).
Structured’ensembleordonn´edeR
Th´eore`me*.—
Soientxetyomxneudeer´esbrsnpuslO.uqeopesx < y. Alors
•
∀t∈R x+t < y+t
The´ore`me*.—In´egalite´striangulaires
• ∀(x y)∈R2|x+y| ≤ |x|+|y|
•
∀t∈R+⋆×t < y×t
x
• ∀(x y)∈R2|x−y| ≥|x| − |y|
Savoir-faire :ituloeu’dnusemoem.jamruopsimuoreroavrlrenobsraeuallrseilesagilnie´triat´esairengul
Bornessup´erieure,infe´rieure
De´finition:Bornesup´erieureetborneinfe´rieured’unepartie—.SoitA∈P(R)une partie deR.
•Si l’ensembleMajRAdes majorants deAdansR´lmenetpstetie´edeunpluposs`M,Mppatseale´leborne
sup´erieuredeA. On note
•Si l’ensembleMinRAdes minorants
inf´erieuredeA. On note
M= supA= minMajR(A)
deAdansRand´el´ementopsse`ednulpsurgm,mstappel´elaeborne
m= infA= maxMinR(A)
1
Th´eor`eme.—Caract´erisationdelabornesupe´rieure/inf´erieure
SoitA⊂Rurtieendeepaiodre´eentomnavjR, alors
(∀α∈R)
α= supA
⇐⇒
•
•
SoitA⊂Ron´reeedivedteimartienonunepR, alors
(∀α∈R)α= infA⇐⇒•
•
The´or`eme*.—Proprie´t´edelabornesupe´rieure/inf´erieure
∀a∈A α≥a
∀ε >0∃a∈A;α−ε < a≤α
∀a∈A α≤a
∀ε >0∃a∈A;α≤a < α+ε
•´rojedeeartienonvideetmaoTtupeRneeurnboupesri´esopde`sreeu
•edeiertpateouTe´ronimteedivnonRuneb`edepossruereeini´froen
Savoir-faire :labornesi´et´edeero:tbnepue´iruettmepalerporneerrvuœjamenuridnoitaroupesApar ”passage au
sup”p,tbneiuosvaleirlacetturderobea`enia’lededCBlaS
Remarque :siAamdtenulpsurgnad´el´ementαalorsαetsalobnrsepue´rieuredeA.
Cons´equencesdelaproprie´t´edelabornesupe´rieure
De´finition:Une partieCdeRest diteconvexesi(∀(a b)∈R2)(a b)∈C2⇒[a b]⊂C
The´ore`me.—IntervallesdeR.Les parties convexes deRsont les intervalles.
—
The´oreme.—
`
Ralapropri´ete´d’Archime`de—.
(∀ε >0)(∀a∈R)(∃n∈N);
(nε > a)
Proposition.—Partieentie`red’unr´eel—.Soitx∈R. Il existe un entier relatifn∈Z, unique, tel quen≤x < n+ 1.
nest lapartreenie`etidex, on le note⌊x⌋.
Proposition.—densit´edesrationnelsetdesirrationnels—.
Soit (x y)∈R2tel quex < y.
Il existe un nombre rationnelrdans l’intervalle ouvert ]x y[.
Il existe un nombre irrationnelξdans l’intervalle ouvert ]x y[.
Th´eor`eme*.—Racinesn`iseme—.und’eer´oslpifit
Soitn∈N⋆ourt.Pitfopise´leuorta∈R+, il existeb∈R+, unique tel que :
(1)
Cet´el´ementb´teetson
bn=a
naoua1nppta´eelesetalracinene`iemdea.
2
