Colle N°10: Coniques

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+25 novembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S09 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. CONIQUES D´eﬁnition monofocale +⋆D´eﬁnition : Soient D une droite, F ∈ P\D et e ∈ R . On appelle conique de foyer F, de directrice D et MF d’excentricit´e e l’ensemble Γ = Γ(F,D,e) des points M ∈P tels que =e. d(M,D) On note K le projet´e orthogonal de F sur D. Le nombre p = eKF = ed(F,D) est le param`etre de Γ. Le rond −−→ KF R = (F,~ı,~), ou`~ı est le vecteur unitaire~ı = est le rep`ere focal.F KF Proposition.— Equation de Γ dans le rep`ere focal—. 2 2 2Γ admet pour ´equation cart´esienne dans le rep`ere focalR x +y = (ex+p)F +⋆ D´eﬁnition : SoientD une droite, F ∈P\D et e∈R si e = 1, la conique Γ(F,D,e) est la paraboleP de foyer F et de directriceD. si 0 1, la conique Γ(F,D,e) est l’hyperboleH de foyer F, de directriceD et d’excentricit´e e. ´Etude de la parabole ´Proposition*.— Equation r´eduite —. Soit (O,~ı,~) un rond, p> 0. 2La courbeP d’´equation cart´esienne y = 2px est une parabole. Plus pr´ecis´ementP est la parabole d´eﬁnie par la donn´ee de • son sommet O(0,0) • son foyer F(p/2,0) p• sa directrice D : x =− • son param`etre p 2 x0De plus, une ´equation cart´esienne de la tangente a`P au point M est yy =p(x+x ).0 0 0y0 2x = 2pt2Proposition.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S09

semaine du 3+25 novembre 2011

NB :seules,srpposoeroeemtoil´eesitions´eixesee´gosenaptns.emd´eslitartsnohtsedsno
´ `
CONIQUES

D´eﬁnitionmonofocale
D´eﬁnition:SoientDune droite,F∈ P  Dete∈R+⋆. On appelleconique de foyerF, de directriceDet
d’excentricit´eel’ensembleΓ = Γ(FD e)des pointsM∈ Ptels qued(FMMD) =e.
On noteKhtgoe´roednolaojetleprFsurD. Le nombrep=e KF=e d(FD)stepaleedar`mteerΓ. Le rond
−→
RF= (F~ ~),ou`ı~est le vecteur unitaire~ı=KFFKestlecal.erofpee`r
ı 

Proposition.— Equation deΓdans`preelerla.—feco

Γadmetpour´equationcart´esiennedanslerep`erefocalRF

x2+y2= (ex+p)2

De´ﬁnition:SoientDune droite,F∈ P  Dete∈R+⋆
sie= 1, la coniqueΓ(FD e)est laparabolePde foyerFet de directriceD.
si0< e <1, la coniqueΓ(FD e)est l’ellipseEde foyerF, de directriceDe´ti’etdeictrenxce.
sie >1, la coniqueΓ(FD e)est l’hyperboleHde foyerF, de directriceDee’dtnecxcirtit´ee.
´
Etude de la parabole

´
Proposition*.—Equationr´eduite—.Soit (Oı~~) un rond,p >0.

La courbePequd’ese´tnneioitaracny2= 2pxest une parabole.
´

Pluspre´cis´ementPeﬁsntileappaarrlaboled´eeddano´nee

•son sommetO(00)•son foyerF(p20)
•sa directriceD:x=− •ee`rtramaospnp
2
Deplus,une´equationcarte´siennedelatangente`aPau pointM0xy00estyy0=p(x+x0).

Proposition.—La parabolePeuq’drne´taoieduity2= 2pxte´marapnoitasirpourayx==
´

´
Etude de l’ellipse

´
Proposition*.—Equationr´eduite—.Soit (ı~~O) un rond.

2p t2
2p t

La courbeEsetracnoitauqe´d’eiennxa22+by22 0= 1, avec< b < aest une ellipse.
´

Pluspre´cis´ementsic=a2−b2(i.e.c2=a2−b2),Edeeeapeinﬁe´´nnodalrestl’ellipsed

t∈R

•ses sommetsA′(−a0) A(a0) B(0 b) etB′(0−b)•ses foyersF(−c0)etF′(c0)
•ses directricesD:x=−ac2etD′:x=ca2•ete=caetp=b2a

Deplus,une´equationcart´esiennedelatangentea`Eau pointM0estxa02x+by02y= 1.

Proposition.—spille’Lauqe´’deontiax22+by22´teirastion1a=xy==abcosst
pour param int
1

Proposition*.—caract´erisationbifocale—.SoitEl’ellipse de foyersFetF′saosice´rictsceuxsarediDetD′et de
demi grand axea∈R+⋆. Alors pour tout pointM∈ P,M∈E⇐⇒M F+M F′= 2a.

´
Etude de l’hyperbole

´
Proposition*.—Equationr´eduite—.Soit (ı~O~) un rond.

La courbeHieuqta’de´ra´toicnxa22−yb22= 1, est une hyperbole.
es nne

Pluspre´cis´ementsic=a2+b2(i.e.c2=a2+b2),Heseboled´eﬁtl’hyperodnne´deinperaal

•ses sommetsA′(−a0) etA(a0)•ses foyersF′(−c0)etF(c0)
tricesD′:x=−a2etD:x=a2•et dee=c a
•ses direcc cetp=b2a

De plusHdselseto’dsetiorioatqu´ensadmetpourasympty=±xb,nnuE.ﬁnauit´eqert´etoencanngeednelsaitean
a
`aHau pointM0estax20x−yb20y= 1
.

Proposition.—h’dehcnarbaLoisnd’´equatyperbolexa22−yb22= 1,x >0 a pour parametrisation :xy==abhhcstt

Proposition*.—caract´erisationbifocale—.SoitHl’hyperbole de foyersFetF′´esauxdirectricessaosicDetD′
et de demi-axe focala∈R+⋆. Alors pour tout pointM∈ P,M∈H|⇒⇐M F−M F′|= 2a

R´eductiondescourbesalge´briquesdedegre´2
De´ﬁnition:SoitΓ´ebriqueourbealgra’le´uq´dﬁeinpenoitacal,(K)ax2+bxy+cy2+dx+ey+f= 0On appelle
2
discriminantdeΓ, le nombreΔ =b−4ac.

The´ore`me*.—ebla´gbeiruqdedeegr´e2d´eﬁniedanlsrepee`errohtnoorm´eodiirSelcatt(Γurco~O~ı)lrapqe´’itauon
(K).
•si Δ = 0(Γ) est de typeparabole.
•si Δ>0(Γ) est de typehyperbole.
•si Δ<0(Γ) est de typeellipse.

Savoir-faire :
edureneΓrlneatannostcsidclacnalu´dtereim,nantrimi
usseseccsfis.charΓpdeteuiedr´re`peredtnemegnaeterd´itnoqeaulr´’imen
~ ~ ~
a.r´ouimelerinstlereemesnpxyaceradanslerep`e,noeslprialopereR= (0 I J`u,o)(Iı~) =θetθ
π4sia=cetθ=12Arctan (a b−c) sinon.
b.pour absorber les termes enXetYun fera un changement d’origine.
Coniquesencoordonne´espolaires

´~ ~
Proposition*.— Equation polaire —.SoitR= (O I  J) un rond.

Lacourbed’e´quationpolaireρ= 1 +ecops(θ−α une conique Γ.) est

Pluspre´cis´ement,Γestlaconiquede´ﬁnieparladonn´eede:

•son excentricitee,ee`rtramaospnpet son foyerO
´
•npolaire´equatioxenaso’detiordal,lacofθ=α
•et de sa directriceDuaeqonti’´dalop:eriρ=ecos(pθ−α)

Savoir-faire :chercher les sommets focaux de Γ en calculantρ(α) etρ(α+π).

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