Colle N°09: Courbes planes

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S09

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

COURBES DANS LE PLAN (I)

Fonctions`avaleursvectorielles
~ ~ ~
De´finition:Une applicationf:I→ Pni’lvretellad´niefiuresIa`,valeursdansPpaep´leenueestfonction vecto-
~
rielle. Pour toutt∈Ixeli,desristes´eelx(t)ety(t)tels quef(t) =x(t)ı~+y(t)~.
~
Les fonctionsx:I→Rety:I→Rs’appellent lescoordoedsee´nnf.
~ ~
De´finition:Soitf:I→ Psrdonne´ceoeolledorieevtcitnoofcnuenxety,t0∈I.
~
•fest continue ent0si et seulement sixetysont continues ent0.
~ ~
•festd´ervibaelnet0si et seulement sixetyonse´dtavirselbnet0. En ce cas,f′(t0) =x′(t0)~ı+y′(t0)~

~
Proposition.—Formulesdede´rivation—.Soientλ:I→R,f~:I→~Pet~g:I→ Pdes fonctions de classeC1.
Alors les fonctionst7→λ(t)f~(t),t7→f~(t)|~g(t)ett7→Det(f(t)g~(t)) sont de classeC1surI, et pour toutt∈I
~
•λf~′(t) =λ′(t)f(t) +λf′(t)
~ ~
••Det(~f~f|gg~~)′′((tt=))=Df~e′t(t)f~′|(g~t()t)g~(t)++f~(teD)|tfg~′~((tt))~g′(t)

Courbesparam´etre´esencoordonn´eescart´esiennes
Soit Γ un arc de classeC1sur un intervalleIdeRparaionsquates´eseiruq´mteinfielrap´d,xy
Vousdevezconnaıˆtreetdesavoirmettreenœuvrelepland’´etuded’une telle courbe.
Domaineded´efinition,intervalled’´etude

=
=

x(t)
y(t) .

Vousdevezsavoirrepe´reretutiliserlesproprie´t´esdep´eriodicite´communedex(t) ety(tratie´ed´toeiupm),depari
x(t) et dey(tparrapeirte´mysetd,e)`aportt0∈Ie.sne’lbme´’deduteumlmamixeruadeiuurr´po

´
Etude des tangentes
D´efinition:Un pointM0=M(t0)est unrtniopeiluge´rdeΓsix′(t0) y′(t0)6= (00). Dans le cas contraire, on
dit queM0est unpoint stationnaire.

Proposition.—tangenteenunpointr´egulier—.SiM0=M(t0etdmetunlo,aΓarsioputnegnaaetne´ugilre)sert
M0.
−−−→
La tangente enM0est la droite passant parM0teee´giridrpaf′(t0) =x′(t0)~ı+y′(t0)~

En pratique, vous utilisez :

Corollaire*.—Pentesdestangentes:casre´gulier—.SoitM0=M(t0cr.Γlea’eidregulntr´npoi)u
six′(t0) = 0 ety′(t0)6= 0 alors la tangente enM0est verticale ;
six′(t0)6= 0 ety′(t0) = 0 alors la tangente enM0est horizontale ;
six′(t0)6= 0 ety′(t0)6= 0, alors la tangente a pour pentey′(t0)x′(t0).

Proposition*.— Pentes des tangentes : cas stationnaire —.SoitM0=M(t0) un point stationnaire de Γ.
sitli→mt0xy′′((tt)=)±∞aolso`ssrpΓeelacitrntaneeuedveteenngM0;
sitli→mt0y′′((tt`de=0alorsΓ))taonenlehetnzirotenuegnaM0;
posse
x
sitli→mt0xy′′((tt=))α∈Rs`edΓposlorsaentepedetnegnatenueαenM0.

1

´
Etude des branches infinies
¯
Proposition*.—Soita∈Redetrevxtr´unee´eouemitI, telle quetli→mx(t) =±∞, outli→may(t) =±∞:
a
Ret limy(t) =±∞ ela dx=x0est
sitli→max(t) =x0∈t→a, roit verticale au voisinage de asymptotea;
si limx(t) =±0∈R, la droitey=y0est asymptote horizontale au voisinage dea;
t→a∞ettli→may(t) =y
si limx(t) =±∞ettlimy(t) =±∞:
t→a→a
◮sitli→maxy((tt)=)±∞, il y a une branche parabolique de direction (Oy) ;
◮sitli→mayx((tt)n(ioctr)ed0i,dieOx) ;
= l y a une branche parabolique
◮sitli→maxy((tt))=α∈R:
•sitli→may(t)−αx(t) =±∞, il y a une branche parabolique de direction asymptotiquey=αx;
•sitli→my(t)−αx(t) =β∈R,alrdioted’´equationy=αx+βest asymptote oblique au voisinage dea.
a

Courbesd’´equationpolaireρ=ρ(θ)
Soit Γ un arc de classeC1sur un intervalleIdeR,d´efiinaprρ=ρ(θ). Vous devez connaˆıtre et de savoir mettre en
œuvre ledetue´’dnalpd’une telle courbe.
Exemples
•racnse´tnneieted’droiatio´equalax+by=c,c6=ad0,tpmeireuo´rqeauitnoopalρ=c

acosθ+bsinθ
•nneise´tracnoitaqu´ed’lercceleex2+y2−2ax−2byrenpioaioluqtarue´teopa,md=0ρ= 2acosθ+bsinθ

Domaineded´efinition,intervalled’e´tude
Vousdevezsavoirrep´ereretutiliserlesproprie´te´sdep´eriodicite´,parit´eouimparit´edeρ(θtropparrapeirte´esym,etd)
`aθ0reuiedr´urpoaumaximuml’ensemlbde´’tedu.e

Vitesseetacc´el´erationdansunrepe`remobile

Proposition.—Soitρ:I→Rune fonction de classeCk. On notef~:θ7→ρ(θ)~u(θ´iee.lliesseaveonorctofalitcn)
oc
Alorsf~est de classeCksurIet
−−→
•f′(θ) =ρ′(θ)~u(θ) +ρ(θ)v~(θ)
−−−→
•f”(θ) =ρ”(θ)−ρ(θ)~u(θ) + 2ρ′(θ)~v(θ)

´
Etude des tangentes

(k≥1)
(k≥2)

Corollaire.—R´egularite´despointsdiff´erentsdupoˆle—.Soitθ0∈I.Siρ(θ0)6= 0,alorsle pointM(θ0) est un
poi t r´ lier de Γ.
n egu

Proposition.— Tangente au pointM(θ0)—.Soitθ0∈I. On noteM0=M(θ0).
siρ(θ0 la droite passant par) = 0 alorsM0arigirep´etde~u(θ0)angeesttΓatn`e
siρ(θ0)6 droite passant par la= 0 alorsM0et dirigee parρ′(θ0)~u(θ0) +ρ(θ0)v~(θ0ttesgeane`ntaΓ)
´

Corollaire.—Pentesdestangentesenunpointdiff´erentdupˆole—.Soitθ0∈Itel queM(θ0)6=O. On note
V(θ0) =~u(θ0)~f′(θ0).
◮siρ′(θ0) = 0, la tangente enM(θ0estdirig)arep´e~vθ0. On dit que la tangente est orthoradiale.
◮siρ′(θ0)6= 0, on noteV(θ0) une mesure de l’angleu~(θ0)f~′(θ0). Alors tanV(θ0) =ρρ′((θθ00))

´
Etude des branches infinies
si±∞eesenutrtxeime´de´tIet li±mρ(θ) =±∞rpe´Γ,ueenestnbranche spirale.
θ→ ∞
siθ0∈Reot´mi´edeteeruvsertxeenutIetθli→mθ0ρ(θ) =±∞suovfinie,einbrlachantunadereutidreal.oPrue´
ez en cart´ i
pass es ennes :x=ρ(θ) cosθ
y=ρ(θ) sinθ

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