THÈSE

◦N d’ordre 2764 THÈSE présentée A L’UNIVERSITÉ PAUL SABATIER DE TOULOUSE pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR DE 3ème CYCLE Spécialité : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES par Joseph SAINT PIERRE TESTS D’HYPOTHÈSES D’INÉGALITÉ DANS LE MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRALISÉ Soutenue le 3 février 1983 devant la Commission d’Examen : MM. H. CAUSSINUS Président  J.M. BREMNER O. BUNKE  J.R. MATHIEU Examinateurs X. MILHAUD A. RAUGISAINT PIERRE (Joseph). - Tests d’hypothèses d’inégalité dans le modèle linéaire généralisé. - 60 p. Th. 3ème cycle Mathématiques Appliquées Toulouse III : 1983; 2764. RÉSUMÉ : Dans un premier chapitre, on donne quelques rappels indispensables sur les problèmes de statistique inférentielle sous contraintes d’inégalités et notamment sur la régression isotone et des tests unilatéraux dans le cadre de lois normales multidimensionnelles. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du modèle linéaire généralisé multidimensionnel avec un rappel des principaux ré- sultats concernant la normalité asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance.Dansletroisièmechapitreonconstruitdestestsd’unehypothèse simple contre une hypothèse d’inégalité portant sur toutes les composantes du paramètre, ainsi que des tests d’hypothèses d’inégalité portant sur toutes les composantes du paramètre, cela dans le cadre du modèle linéaire généralisé. On montre que les statistiques de ces tests sont asymptotiquement distribuées 2suivant la loi deχ¯ . Dans le quatrième chapitre on construit des tests d’une hy- pothèse linéaire composée contre une hypothèse d’inégalité. On détermine aussi la distribution asymptotique des statistiques de test. MOTS CLÉS : – Régression isotone – Hypothèses restreintes – Test du rapport de vraisemblance – Modèle linéaire généralisé – Structure gaussienne tangente – cône convexe polyédrique – Test des multiplicateurs de Lagrange 2– Loi de χ¯ – Probabilité orthante JURY et date de soutenance : 3 Février 1983 Président : H. CAUSSINUS Membres : J.M. BREMNER O. BUNKE J.R MATHIEU (Laboratoire de Statistique et Probabilités) X. MILHAUD A. RAUGI iJe remercie Henri CAUSSINUS pour avoir accepté de présider le jury de cette thèse, ainsi que pour Les nombreux conseils qu’il m’a prodigués lors de L’élaboration de celle-ci, Jean-René MATHIEU qui a dirigé ce travail, je le remercie pour sa disponi- bilité et la qualité des relations que j’ai eues avec lui, Olaf BUNKE, Professeur à L’Université Humboldt de Berlin, pour s’être intéressé à mon travail, pour m’avoir aidé à l’amélioration de celui-ci et pour l’immensehonneurqu’ilmefaitenacceptantdeparticiperaujurydecettethèse, J.M. REMNER, Professeur à L’université de Kent à Canterbury, poux L’in- térêt qu’il a manifesté pour mon travail lors de sa venue à COMPSTAT 82, pour avoir lu une version écrite en anglais de cette thèse, et pour l’honneur qu’il me fait en acceptant de se déplacer poux participer au jury de celle-ci, Xavier MILHAUD pour avoir suivi mes exposés, pour les remarques qu’il m’a faites et sa participation au jury, Albert RAUGI pour m’avoir aidé dans mon travail, pour avoir accepté de le lire et de participer au jury, Akio KUDÔ, Professeur à L’Université de Kyushu à Fukuoka. pour L’inté- rêt qu’il a porté à mon travail Lors de notre rencontre à Toulouse au cours de COMPSTAT 82 et pour m’avoir. fait parvenir ses publications. Je remercie P. BAYLAC et R. DEBEURRE pour L’efficacité avec laquelle elles ont mené à bien l’ingrat travail de frappe, O. LANDREVIE dont la gen- tillesse et la compétence permettent de résoudre la plupart des problèmes admi- nistratifs, Ch. TERTRE pour le travail d’impression. Je remercie tous mes copains du Laboratoire qui ont contribué à rendre l’am- biance de travail plus agréable, je ne peux les citer tous mais je ne peux m’em- pêcher de remercier personnellement : Mostafa, Amir, Bébert, Bernard, Moha, Bachir, Lucile, Véro, J.R., Pierre Bru ... j’en ai sans doute oubliés ne m’en veuillez pas... iiINTRODUCTION Considéronslasituationsuivante:soitdeuxchampsentoutpointidentiques, on fait dans l’un et l’autre champ la même culture, dans le premier champ on met un engrais fertilisant et dans le second on ne met rien. Il est alors possible d’affirmer a priori que le rendement dans le second champ sera inférieur à celui du premier. Cet exemple de situation conduit le statisticien à l’utilisation du testdit"testunilatéral"s’ilveutjugerdel’efficacitédel’engrais.Lajustification de cela est évidente : on jugera en effet que l’engrais est "bon" seulement si le rendement observé dans le premier champ est supérieur a celui du second. Alors que si on veut juger de "l’effet" de l’engrais avec le "test bilatéral" on prend en compte la valeur absolue de la différence des rendements observés. Il convient donc dans chaque situation statistique d’utiliser les informations obtenues "a priori". Ce genre de situations a conduit à la théorie de la régression isotone et aux tests d’hypothèses ordonnées ainsi qu’aux tests "unilatéraux multidimen- sionnels". Ces théories ont été mises au point dans le modèle linéaire par D.J. Bartholomew (1959), A. Kudô (1963), P. Nûesch (1966) et sont largement com- mentées dans Barlow et Coll. (1972). La normalité n’étant pas toujours requise, certains auteurs se sont intéressés à l’extension de ces tests à des situations où les variables observées suivent des lois autres que la loi normale, mais cependant usuelles : binomiale, poisson etc... Dans Barlow et Coll. (1972) certains cas particuliers sont étudiés. T. Robertson et E.J. Wegman (1978) se sont penchés sur le problème des tests d’hypothèses ordonnées dans une structure exponentielle. Les tests de ces auteurs utilisent le critère du rapport de vraisemblance. D’autre part, afin de recouvrir ce grand nombre de loi de probabilités usuelles J. Nelder et R.W.M. Wedderburn (1972) ont introduit le modèle linéaire généralisé qui constitue une extension des struc- tures exponentielles. J.R. Mathieu (1978, 1981) a donné une version du modèle linéaire généralisé multidimensionnelle afin de pouvoir étudier certaines situa- tions n’entrant pas dans le cadre du modèle linéaire généralisé de J.A. Nelder et R.W.M. Wedderburn, notamment les tables de contingences. Les auteurs cités ont étudié dans le modèle linéaire généralisé les tests d’hypothèse linéaires; le but de notre travail est d’étudier dans ce modèle les tests "unilatéraux multidi- mensionnels". 1Dans le premier chapitre on donne des rappels sur les tests d’hypothèses restreintes dans le modèle linéaire c’est-à-dire sur la régression isotone . Dansledeuxièmechapitreonprésentelemodèlelinéairegénéralisé(G.L.I.M.) danssaversionmultidimensionnelle,onrappellelesprincipauxrésultatsnotam- ment sur la normalité asymptotique des estimateurs. Dans le troisième chapitre on construit dans le G.L.I.M, des tests d’une hy- pothèse simple contre une hypothèse imposant au paramètre des contraintes d’inégalités sur toutes ses composantes, On montre que les statistiques de tests 2sont asymptotiquement distribuées suivant une loi de χ¯ que l’on explicite. On construitaussidestestsd’unehypothèseimposantauparamètredescontraintes d’inégalité sur toutes ses composantes contre l’hypothèse contraire, on établit la distribution asymptotique des statistiques de tests. Dans l’un et l’autre cas on utilise la statistique du rapport de vraisemblance ainsi qu’une statistique dont l’écriture est similaire à la statistique du test de Wald d’une hypothèse linéaire. Dans le cas d’une hypothèse nulle imposant au paramètre des contraintes d’in- égalités, on construit deux tests à l’aide de multiplicateurs de Lagrange. On montre l’équivalence asymptotique des différents tests utilisés. Dans le quatrième chapitre on se situe toujours dans le G.L.I.M on s’inté- resse aux tests d’une hypothèse nulle linéaire composée contre une hypothèse alternativeimposantdescontraintesd’inégalitésauparamètre.Ladifficultésup- plémentaire par rapport au chapitre précédent est due au fait que les distribu- tions asymptotiques des statistiques de tests dépendent de la vraie valeur du paramètre sous l’hypothèse nulle; comme celle-ci est composée, il est délicat de construira des tests de niveau asymptotiques constant, ce qu’on s’est efforcé de faire ici. 2Chapitre I RAPPELS SUR LES TESTS D’HYPOTHÈSES RESTREINTES DANS LE CAS GAUSSIEN 3I.1 Tests unilatéraux dans une structure gaus- sienne Soit la structure statistique : 2 ? n( ,B ,{N(μ,σ ), μ∈ , σ∈ }) .+ On s’intéresse au test 2 ?de H : (N(μ ,σ ), σ∈ )0 0 + 2 ?contre H : (N(μ ,σ ), μ>μ , σ∈ ) .1 0 0 + Pour abréger les notations on écrit H :μ =μ et H :μ>μ .0 0 1 0 X ,X ,...,X les applications coordonnées ce sont des variables aléatoires1 2 n 2réelles (v.a.r.) indépendantes de loi N(μ,σ ). n nX X 1 1 22¯ ¯X = X S = (X −X)i in n−1 i=1 i=1 √ ¯n(X−μ) suit une loi de Student à (n−1) degrés de liberté.S On notera t , la valeur qui est dépassée avec une probabilité α par uneμ,α variable aléatoire de Student àμ degrés de liberté. Le test de Student unilatéral de H contre H est le suivant (test de niveau α ).0 1 √ ¯n(X−μ) rejet de H pour >t0 n−1,αS c’est sans doute l’exemple le plus simple et le plus connu de statistique infé- rentielle sous contrainte d’ordre. Soit la structure statistique 2 ? n1( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) ⊗1 1 + 2 ? n2( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) .2 2 + on s’intéresse au test de H :μ =μ0 1 2 contre H :μ >μ1 1 2 2 2¯ ¯X (resp.X ),S (resp.S ) désignent les mêmes choses que précédemment1 2 1 2 2 ? n1dans la structure ( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ })1 1 + 2 ? n2(resp. ( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) ) .2 2 + 2 2(n −1)S +(n −1)S1 22 1 2S = , n +n −21 2 4LetestdeStudentauniveauαdeH contreH sefaitdelamanièresuivante:0 1 ¯ ¯X −X1 2√rejet de H pour >tν,α ν =n +n −2.0 1 21 12(S ( + ))n n1 2 C’estunautreexempleélémentairedestatistiqueinférentiellesouscontraintes d’ordre. Problème : Soit la structure statistique : 2 ? n1( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ })1 1 + 2 ? n2⊗( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ })2 2 + 2 ? n3⊗( ,B ,{N(μ ,σ ),μ ∈ ,σ∈ }) .3 3 + Soient les hypothèses