Thèse

ThŁse prØsentØe par Karima Sbihi pour obtenir le grade de docteur de L’UniversitØ Louis Pasteur Strasbourg 1 SpØcialitØ : MathØmatiques 1Etude de quelques E.D.P. non linØaires dans L avec des conditions gØnØrales sur le bord Date de soutenance : 13 octobre 2006 devant la Commission d’Examen Directrice de thŁse Petra WITTBOLD, Technische Universit t Berlin Rapporteur externe Noureddine IGBIDA, UniversitØ de Picardie Rapp Michel PIERRE, Ecole Normale SupØrieure de Cachan Rapporteur interne Vilmos KOMORNIK, UniversitØ Louis Pasteur Examinateur Boris ANDREIANOV, UniversitØ de Franche-ComtØ1Etude de quelques E.D.P. non linØaires dans L avec des conditions gØnØrales sur le bord RØsumØ : L’objectif de ce travail est l’Øtude de divers problŁmes d’Øquations aux dØrivØes partielles non linØaires du type hyperbolique et d’autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opØrateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces Øquations sont d’une fa on gØnØrale mal posØes dans le cadre de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), car en gØnØral on n’a pas l’unicitØ. Des formulations plus appropriØes ont alors vu le jour : les solutions appelØes SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisØes. Cette thŁse composØe de cinq chapitres, prØsente des rØsultats d’existence et d’unicitØ de solutions entropiques et renormalisØes pour quatre problŁmes non linØaires du type mentionnØs ci-dessus. AprŁs un bref exposØ de dØ nitions et rØsultats nØces- saires la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l’existence et l’unicitØ de la solution entropique pour un problŁme elliptique du type di usion-con vection avec des conditions non linØaires sur le bord. Ces conditions englobent en par- ticulier les usuelles. Dans le mŒme axe, au chapitre 3, l’existence et l’unicitØ de la solution entropique d’un problŁme parabolique avec absorption dØpendant de la variable d’espace sont dØmontrØs. Le chapitre 4 a pour but de prØsenter un rØsultat d’existence de solutions renormalisØes pour un problŁme de Stefan non linØaire. Le dernier rØsultat, prØsentØ au chapitre 5, est l’existence et l’unicitØ de la solution entropique d’un problŁme de lois de conservation scalaires avec des conditions non linØaires sur le bord. Mots clØs : problŁmes elliptique-parabolique-hyperbolique, conditions non li- nØaires au bord, semigroupes non linØaires, opØrateur accrØtif, capacitØ, dØdou- blement de variables, lois de conservation scalaires, trace forte. AMS classi cation : 35J60, 35J65, 35K55, 35K60, 35L60, 35L65.A mes parentsRemerciements Mes premiers remerciements vont Petra Wittbold, qui a encadrØ cette thŁse avec beaucoup de patience et de gentillesse. Elle a su motiver chaque Øtape de mon travail par des remarques pertinentes et a su me faire progresser dans mes recherches. Je la remercie trŁs sincŁrement pour sa disponibilitØ (mŒme distance) et son accueil chaleureux Berlin. Le travail que je prØsente ici n’aurait pas pu aboutir sans la contribution de Boris Andreianov avec qui j’ai eu beaucoup de plaisir travailler et qui m’a beaucoup apportØ. Nos contacts ont toujours ØtØ trŁs agrØables et instructifs gr ce sa gentillesse et ses grandes connaissances scienti ques. Je le remercie Øgale- ment de m’avoir accueilli au sein du laboratoire de mathØmatiques de l’universitØ de Franche-ComtØ, dont Monsieur Christian Le Merdy est directeur. Je suis trŁs reconnaissante envers messieurs Noureddine Igbida, Vilmos Komornik et Michel Pierre d’avoir acceptØ de rapporter cette thŁse et de faire partie de mon jury de soutenance. Je suis trŁs sensible l’honneur que m’a fait Noureddine Igbida en s’intØressant mon travail tout au long de ces an- nØes. Mes remerciements vont aussi aux membres de l’IRMA et du laboratoire de mathØmatiques de l’universitØ de Franche-ComtØ, que j’ai c to yØs pendant ces annØes et qui m’ont tØmoignØ beaucoup de sympathie et d’encouragements. Je pense mes parents Khelifa et Taous dont le travail n’aurait pu aboutir sans leur inØpuisable soutien et encouragements. Qu’ils trouvent dans la rØalisa- tion de ce travail, l’aboutissement de leurs e orts ainsi que l’expression de ma plus a ectueuse gratitude. Je tiens Øgalement remercier mes soeurs, Kahina, Lila et Lynda, pour leur prØsence et leur soutien constant. Une pensØe toute spØ- ciale mes grands-parents que je sais si ers et que je remercie pour leur soutien et amour. De tous mon coeur je remercie ma belle famille, qui par leur a ection et bienveillance m’ont permis d’accomplir ce travail dans la sØrØnitØ. En n mes plus tendres remerciements vont celui qui partage et embellit ma vie depuis de nombreuses annØes. Merci pour le tendre soutien et les relectures assidues. Merci de m’avoir poussØe et encouragØe aller au del de mes capacitØs. Merci pour le rØconfort, les bons moments et l’amour que tu m’o res chaque jour. Une trŁs grande thanemirt donc Mohand, avec tout mon amour. KarimaNotations N› : ouvert de R @› : frontiŁre topologique de› Nx=(x ;¢¢¢ ;x ) : point gØnØrique de R1 N dx=dx dx ¢¢¢dx : mesure de Lebesgue sur›1 2 N N¡1d : mesure de surface sur @›; notØe parfoisH Q :(0;T)£›; t2(0;T); t variable du temps, T >0 § :(0;T)£@› · : normale unitaire extØrieure › Du : gradient de u Supp(f) : support d’une fonction f + ¡f ;f :max(f;0); max(¡f;0) f^g;f_g :inf(f;g); sup(f;g) p-cap(B;›) : p-capacitØ de l’ensemble B relativement › D(›);D(Q);::: : espace des fonctions di Øren tiables et support compact dans ›;Q;::: D (›);D (Q);::: : espace des fonctions positives deD(›);D(Q);:::+ + k kC (›);C (Q) : espace des fonctions k-fois continßment di Øren tiables dans›;Q C (›);C (Q) : des continues nulles au bord dans›;Q0 0 M (›) : espace des mesures de Radon bornØesb M (›) : des de b ne chargeant pas les ensembles0 de capacitØs nulles pL (›) : espace des fonctions de puissancep-Łme intØgrables sur› pour la mesure¡R ¢1 p pdx;kfk = jf(x)j dxp › 1¡ ¢ 1;p p p N p p pW (›)=fu2L (›); Du2(L (›)) g; kuk = kuk +kDuk1;p p p 1;p 1;pW (›) : adhØrence deD(›) dans W (›)0 0 1;p¡1;pW (›) : espace dual de W (›)0 1;p0 1;ppW (@›) : espace des traces des fonctions W (›) ¡1 10;p ;p0 0p pW (@›) : espace dual de W (@›) Si X est un espace de Banach RT ppL (0;T;X)=ff :(0;T)!X mesurable ; kf(t)k dt<1gX0 1L (0;T;X)=ff :(0;T)!X ; ess-sup kf(t)k <1gXt2(0;T) kC ([0;T];X) : espace des fonctionsk-fois continßment di Øren tiables de[0;T]! X D([0;T];X) : des continßment di Øren tiables support compact dans[0;T]