THÈSE

THÈSE présentée à UNIVERSITÉ DE VERSAILLES SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES pourobtenirletitrede DOCTEURENSCIENCES spécialité Mathématiquesappliquées par Xavier CLAEYS Titre: Analyse asymptotique et numérique de la diffraction d’ondes par des fils minces Directeurs: Patrick Joly Houssem Haddar Rapporteurs: Peter Monk Martin Costabel Examinateurs: François Murat Grégoire Allaire Yvan Martel René VézinetAnalyseasymptotiqueetnumérique deladiffractiond’ondespardesfilsminces Résumé: Cette thèse traite de la modélisation de la propagation d’ondes dans des milieux comportant desfilsmincesi.e.dontl’épaisseurestbienpluspetitequelalongueurd’onde.Enappliquantlaméthode desdéveloppementsraccordés,nousdérivonsundéveloppementdelasolutiondel’équationdeHelm- holtz en 2D autour d’un petit obstacle avec condition de Dirichlet sur le bord et proposons un modèle approché dans lequel intervient une condition de Dirichlet moyennée. Par ailleurs nous proposons et analysons deux méthodes numériques non standard pour en calculer la solution avec précision : l’une est adaptée de la méthode de la fonction singulière et l’autre est une version scalaire de la méthode de Holland. Nous démontrons la consistance de ces méthodes. Nous effectuons ensuite le même travail en 3D pour le problème de Helmholtz avec condition de Dirichlet sur le bord d’un objet filiforme dont lespointessontarrondiesellipsoïdalement.Nousdérivonségalementunmodèleapprochédontl’étude mèneàunejustificationthéoriquedel’équationdePocklingtondanssaversionscalaire. Asymptoticsandnumericalanalysis forwavediffractionbythinwires Abstract:Thisthesisdealswiththepropagationofwavesinmediathatcomprisethinwiresthethickness ofwhichismuchsmallerthanthewavelength.Weapplythematchedasymptoticexpansionmethodand deriveanexpansionofthesolutiontothetwodimensionalHelmholtzequationaroundasmallobstacle with Dirichlet boundary condition. Then we present a simplified model for this problem involving an averaged boundary condition and analyze two non-standard numerical methods for computing accu- rately the corresponding solution : the first one is a variation of the singular function method, and the secondoneisascalarversionoftheHollandmethod.Weprovetheconsistencyofbothmethodsinthis case.Thenweprovidecomparableresultsforthe3DHelmholtzproblemwithDirichletboundarycondi- tiononawire-shapedobstaclewithellipsoïdaltips.Wealsoderiveasimplifiedmodelinthelattersetting andthisleadstoajustificationofascalarversionofthePocklingtonequation. iiJedédiecetravail àBaptisteClaeysREMERCIEMENTS Jevoudraisexprimericitoutemagratitudeauxgensquim’ontpermisd’effectuermathèsedansles conditionsidéalesdontj’aibénéficié.Surleplanhumain,j’aitrouvéquecestroisannéesétaientpassio- nantesparcequej’aicotoyéetrencontrédespersonnesquiforçaientlerespectetl’admiration. Mes remerciements vont en premier à Patrick Joly et Houssem Haddar. Ce fut un vrai plaisir de les connaitre et un honneur d’être leur élève. J’ai beaucoup appris à leur contact. Je les remercie sincère- mentpourleurpatience,leurdisponibilité,leursensdel’humouretpourl’intérêtqu’ilsontportéàmon travail. Je les remercie de m’avoir consacré tant d’énergie et d’efforts, je pense que suivre une thèse en analyse asymptotique ne doit pas être de tout repos. Enfin je les remercie pour leurs encouragements, notammentdanslesmomentsdifficilesoùjecroyaisêtreaupointmort. Je remercie François Murat, Yvan Martel, Grégoire Allaire et René Vézinet d’avoir accepté de faire partie de mon jury. Il ont rendu l’organisation de ma soutenance facile. Je les remercie du temps et de l’intérêtqu’ilsontconsacréàmontravail.Jelesremerciedeleurdisponibilité. JeremercieégalementMartinCostabeletPeterMonkd’avoiracceptéderapportersurmathèse.Jeme- surelatémérité,lapatienceetl’énergiequ’illeurafallupourseplongerdansmonmanuscrit.Mercivrai- ment.Jelesremercieégalementpourleursremarquespertinentessurlemanuscrit.Mercienfind’avoir acceptédevenirdeloinpourmasoutenance. JeremercielaDGA,leCNRSetl’INRIAd’avoirfinancémontravail,etdem’avoiraccordéunetelleliberté. J’espèresincèrementavoirréponduàleurattentes. Mes remerciements vont également à Francis Collino. Il a été comme mon "troisème directeur de thèse" alors que j’en avais déjà deux hors pairs. Je le remercie de s’être tant intéressé à mon travail, de m’avoir fait profiter de ses intuitions et ses réflexions. Il m’a vraiment transmis son goût et sa curiosité pourl’analysenumérique. JeremercietouteslespersonnesdePOEMS.L’ambianceaétévraimentagréablependantcestroisans.Il yatantdemomentsvraimentdrôlesquej’aipasséaveceux. Nombreux sont les professeurs auxquels j’aimerais adresser des remerciements. Je pense en parti- culier à Grégoire Casalis et Daniel Bouche, qui m’ont tous les deux poussé à continuer les maths et qui m’ontguidédansmonorientation. J’exprimeégalementmareconaissanceàmafamillepourleursencouragementsetleuraide.Cecis’ap- pliquesurtoutàmamèrepourpleinsderaisonsnotammenttrèsconcrètes.Pourneciterqu’unexemple, ellearelumathèse(!).Sivousconnaissezbeaucoupdemamansquirelisentunethèse,faitesmoisigne. J’aireçugrâceàmesparentslameilleurformationscientifiquequisoit.Mêmedansdesmomentsvrai- ment difficiles, mon éducation et celle de mon frère et de ma soeur a toujours été la priorité pour eux. Bravo. Je salue tous mes amis qui m’ont chacun apporté leur sensibilité sur des sujets vraiment divers et qui m’ontpermisdenepasdevenircomplètementzinzinavectoutesceséquations.Gygottm’amêmeaidé lorsdelarédactiondumanuscritetjeleremerciesincèrement. MespenséessetournentenfinversJuliaquejeremerciepoursapatience,sonaffection,sacompréhen- sion. viviiiTABLEDESMATIÈRES Introductiongénérale 1 PartieI Laméthodedesdéveloppementsraccordés 9 1 Analyseasymptotiqued’unpremierproblèmemodèle:HelmholtzavecconditiondeNeumann autourd’unpetitobstacle 11 1.1 Positionduproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.1 Descriptiondelagéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Formulationduproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Formulationfaibledelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Approximationd’ordre0:lechamplimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Preuvedestabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Remarquesd’analyseasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Calculanalytiquedanslecasd’unobstaclecirculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Séparationdevariablespourl’équationdeHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 re1.3.2 FonctionsdeBesselde1 espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 nd1.3.3 FonctionsdeBesselde2 espèced’ordrenonnul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 nd1.3.4 FonctionsdeBesselde2 espèced’ordre0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.6 Résolutionanalytiquedansuncassimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Développementd’ordresupérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Singularitédestermesdudéveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2 Laméthodedesdéveloppementsraccordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.3 Approximationglobale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.4 Formulationfortedelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.5 Conséquencesdelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Étudeduchamplointain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.1 SéparationdevariablesbaséesurlesfonctionsdeBessel . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.2 Autrefamilledesolutionsàvariablesséparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.3 Notiondedéveloppementradialauvoisinagede0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.4 Développementradialdessolutionsdel’équationdeHelmholtz . . . . . . . . . . . . 38 1.6 Étudeduchampproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.6.1 ExpressionexplicitedessolutionsdeséquationsdeLaplaceemboîtées . . . . . . . . 41 ix1.6.2 Notiondedéveloppementradialauvoisinagedel’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7 Étudedel’erreurderaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.7.1 Bilansurlesconditionssuffisantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.7.2 Reformulationdeséquationsderaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.8 Définitiondestermesdudéveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.8.1 Unicitédelasolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.8.2 Constructiondeprofils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.8.3 Existencedelasolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.8.4 Validationdel’ansatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.8.5 Conclusionfinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2 Principesdecalculgénérauxpourlaméthodedesdéveloppementsraccordés 63 2.1 Leshypothèsesdedépart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.1 Définitionetparamétragedelagéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.2 EspacesdeSobolevetespacesàpoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1.3 Problèmeconsidéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.1.4 Formedesopérateursdifférentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .