The Luroth problem and the Cremona group
122
pages
English
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
122
pages
English
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
- pn ?99k
- map pn
- rational functions
- riemann surface theory
- surjective rational
Publié par
Langue
English
ehT
Lu¨roth
problemandtheCremona
rAArnaudBeauville
Universite´deNice
Torino,March2012
andueBuaivllehTeuL¨orhtrpboelmnadhterCergpuo
omanrguop
).ciarbeglasifoorps’htoru¨Ltub;yroehtecafrusnnameiRhtiwysaeetiuQ(.lanoitarsievruclanoitarinua:meroehthtoru¨L.VK99∼nPpamlanoitarib∃filanoitarsiV.VK99nPpamlanoitarevitcejrusyllacireneg∃filanoitarinusiVyteiravAsnoitinfieD.ufoeulavenootsdnopserrocCfotnioplarenegatahthcus))u(y,)u(x(→7unoitazehT
iL
ru¨roth
ttheorem
epuorg
mCremona
aeht
rdna
aproblem
pLu¨roth
rehT
eBeauville
hArnaud
tona∃.))t(y,)t(x(→7t:snoitcnuflanoitarybdezirtemarap,evrucciarbegla2C⊂C)5781,htoru¨L(meroehT
pserrocCfotnioplarenegatahthcus))u(y,)u(x(→7unoitazirtemaraprehtona∃.))t(y,)t(x(:snoitcnuflanoitarybdezirtemarap,evrucciarbeglapuorganomerCehtdnamelbor→7t
p2⊂CC
hTheorem(Lu¨roth,1875)
tTheLu¨roththeorem
oru¨LehTellivuaeBduanrA).ciarbeglasifoorps’htoru¨Ltub;yroehtecafrusnnameiRhtiwysaeetiuQ(.lanoitarsievruclanoitarinua:meroehthtoru¨L.VK99∼nPpamlanoitarib∃filanoitarsiV.VK99nPpamlanoitarevitcejrusyllacireneg∃filanoitarinusiVyteiravAsnoitinfieD.ufoeulavenootsdno
puorganomerCehtdnamelborphtoru¨LehTellivuaeBduanrA).ciarbeglasifoorps’htoru¨Ltub;yroehtecafrusnnameiRhtiwysaeetiuQ(.lanoitarsievruclanoitarinua:meroehthtoru¨L.VK99∼nPpamlanoitarib∃filanoitarsiV.VK99nPpamlanoitarevitcejrusyllacireneg∃filanoitarinusiVyteiravAsnoitinfieD.ufoeulavenootsdnopserrocCfotnioplarenegatahthcus))u(y,)u(x(unoitazirtemaraprehtona:snoitcnuflanoitarybdezirtemarap,evrucciarbeglat(x(→7t.))t(y,)
∃
→7
2⊂CC
Theorem(L¨uroth,1875)
TheLu¨roththeorem
puorganomerCehtdnamelborphtoru¨LehTellivuaeBduanrA).ciarbeglasifoorps’htoru¨Ltub;yroehtecafrusnnameiRhtiwysaeetiuQ(.lanoitarsievruclanoitarinua:meroehthtoru¨L.VK9suchthatageneralpointofCcorrespondsto
one
valueofu.
9)t(x(→7t.))t(y,
∼∃
n→7
P2⊂CC
pTheorem(Lu¨roth,1875)
aTheL¨uroththeorem
mlanoitarib∃filanoitarsiV.VK99nPpamlanoitarevitcejrusyllacireneg∃filanoitarinusiVyteiravAsnoitinfieD))u(y,)u(x(unoitazirtemaraprehtona:snoitcnuflanoitarybdezirtemarap,evrucciarbegla
ruclanoitarinua:meroehthtoru¨L.VK99∼nPpamlanoitarib∃filanoitarsiVmap
P
n
99K
V
.
Avariety
V
is
unirational
if
∃
genericallysurjectiverational
Definitions
suchthatageneralpointofCcorrespondsto
one
valueofu.
t
7→
(
x
(
t
)
,
y
(
t
))
.
∃
anotherparametrizationu
7→
(
x
(
u
)
,
y
(
u
))
C
⊂
C
2
algebraiccurve,parametrizedbyrationalfunctions:
Theorem(Lu¨roth,1875)
TheLu¨roththeorem
puorganomerCehtdnamelborphtoru¨LehTellivuaeBduanrA).ciarbeglasifoorps’htoru¨Ltub;yroehtecafrusnnameiRhtiwysaeetiuQ(.lanoitarsiev
puorganomerCehtdnamelborphtoru¨LehTellivuaeBduanrA).ciarbeglasifoorps’htoru¨Ltub;yroehtecafrusnnameiRhtiwysaeetiuQ(.lanoitarsievruclanoitarinua:meroehthtoru¨LV
is
rational
if
∃
birationalmap
P
n
9
∼
9K
V
.
map
P
n
99K
V
.
Avariety
V
is
unirational
if
∃
genericallysurjectiverational
Definitions
suchthatageneralpointofCcorrespondsto
one
valueofu.
t
7→
(
x
(
t
)
,
y
(
t
))
.
∃
anotherparametrizationu
7→
(
x
(
u
)
,
y
(
u
))
C
⊂
C
2
algebraiccurve,parametrizedbyrationalfunctions:
Theorem(Lu¨roth,1875)
TheLu¨roththeorem
TheLu¨roththeorem
Theorem(Lu¨roth,1875)
C
⊂
C
2
algebraiccurve,parametrizedbyrationalfunctions:
t
7→
(
x
(
t
)
,
y
(
t
))
.
∃
anotherparametrizationu
7→
(
x
(
u
)
,
y
(
u
))
suchthatageneralpointofCcorrespondsto
one
valueofu.
Definitions
Avariety
V
is
unirational
if
∃
genericallysurjectiverational
map
P
n
99K
V
.
V
is
rational
if
∃
birationalmap
P
n
99
∼
K
V
.
Lu¨roththeorem:aunirationalcurveisrational.
rAandueBuaivllehTeuL¨orhtrpboelmnadhterCmenoarguopQ(laugietbeareia.cs)yiwhtiRmenanusfrcaehtoeyr;ubtuL¨orhts’rpofosi
TheLu¨roththeorem
Theorem(Lu¨roth,1875)
C
⊂
C
2
algebraiccurve,parametrizedbyrationalfunctions:
t
7→
(
x
(
t
)
,
y
(
t
))
.
∃
anotherparametrizationu
7→
(
x
(
u
)
,
y
(
u
))
suchthatageneralpointofCcorrespondsto
one
valueofu.
Definitions
Avariety
V
is
unirational
if
∃
genericallysurjectiverational
map
P
n
99K
V
.
V
is
rational
if
∃
birationalmap
P
n
99
∼
K
V
.
Lu¨roththeorem:aunirationalcurveisrational.
(QuiteeasywithRiemannsurfacetheory;butLu¨roth’sproofis
algebraic.)
rAandueBuaivllehTeuL¨orhtrpboelmnadhterCmenoarguop
:derational.
ris
asurface
eunirational
pa
p(1894):
aCastelnuovo
sHigherdimension
epuorg
lTheLu¨rothproblemandtheCremona
pArnaudBeauville
maxe-retnuoc”nredom“eerht1791dnuorA.sdradnatsnredomybelbatpeccatontub,)7491,5191(stpmettarehtrufedamonaF.etelpmocnisisisylanas’onaFtuB.ytilanoitar-nonehtrof)8091(onaFforepapreilraenanoseilerdna,ytilanoitarinusevorpseuqirnEyllautcA.5P⊂3,2V:elpmaxe-retnuocdesoporp:)2191(seuqirnE
