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122 Olympiades académiques - 2006 Or, JD > 1. Donc la deuxième nappe ne peut pas recouvrir J et D. La longueur maximale cherchée est 2√5 . Exercice no 2 Enoncé L'Etoile Les nombres entiers de 1 à 12 doivent être placés dans les douze cases de l'étoile ci-dessous. La position du nombre 12 est donnée. Les nombres écrits à l'extérieur de l'étoile sont les produits des nombres placés dans les cinq cases de l'étoile situées dans la direction de la flèche. 12 1440 4158 2016 6600 6336 3150 1) Quelle est la seule case qui peut contenir le nombre 7 ? Justifier la réponse. 2) Quelles sont les cases possibles pour les nombres 5 et 10 ? Justifier la réponse. 3) Placer les nombres 1 et 9. Justifier la réponse. 4) Placer, sans justification, les autres nombres et reproduire l'étoile com- plétée sur la copie.
Voir
- olympiades académiques
- flottement entre les étoiles ?
- figure dans la travée de produit
- maxi- mum de renseignements
- travée
- etoile ?
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Français
o Exercice n2 EnoncÉ L’Etoile Les nombres entiers de1Ā12doivent tre placs dans les douze cases de l’toile ci-dessous. La position du nombre12est donne. Les nombres crits Ā l’extrieur de l’toile sontles produitsdes nombres placs dans les cinq cases de l’toile situes dans la direction de la flche.
1) Quelleest la seule case qui peut contenir le nombre7? Justifier la rponse. 2) Quelles sont les cases possibles pour les nombres5et10? Justifier la rponse. 3) Placerles nombres1et9. Justifier la rponse. 4) Placer,sans justification, les autres nombres et reproduire l’toile com-plte sur la copie.
Olympiades acadÉmiques - 2006
Solution (Paul-Louis Hennequin) •PrÉliminaires
a)Nommons les 11 cases vides deaĀksuivant la figure. b)Dcomposons en facteurs premiers les produits : 5 2 1440 = 2×3×5 3 4158 = 2×3×7×11 2 2 3150 = 2×3×5×7 6 2 6336 = 2×3×11 5 2 2016 = 2×3×7 3 2 6000 = 2×3×5×11.
•1)1440, 6336 et 6000 ne sont pas divisibles par 7 mais 2016 l’est. La seule case qui peut contenir 7 estd.
•2);4158, 6336 et 2016 ne sont pas divisibles par 5 5 et 10ne peuvent donc tre placs qu’enaetbou beta.
•3)6600 n’est pas divisible par 9, 1440 et 2016 ne sont pas divisibles par 27 et 12 est divisible par 3. Cela laisseecomme seule case possible pour 9 et 1 doit tre plac enc.
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Olympiades acadÉmiques - 2006
•4)1440, 3150 et 2016 ne sont pas divisibles par 11, mais 6336 l’est. 11 doit donc tre plac enh.
•5)Nous sommes donc arrivs Ā l’tape ci-contre en notant`le contenu de la case`. (a)(b)= 50 4158 (k)(i)= =6 7.9.11 6600 (k)(g)= =12 5.10.11 2016 (i)(j)= =24 7.12 6336 (f)(g)= =24 11.24 1440 (b)(f)(g)120= = 12
d’oÙ(b) = 5et(a) = 10. (k)(i)(j) = 6(j) = 24(k)d’oÙ(j) = 4(k)et comme26(k)et(j)68,(k) = 2et(j) = 8. (k)(f)(g) = 12(f) = 24(k)d’oÙ(f) = 2(k) = 4, (g) = 6(i) = 3. On vrifie que la solution ci-contre convient et la suite des tapes tablit l’unicit.
Olympiades acadÉmiques - 2006
Solution (Henri Bareil) ❦ 1PLACER 7
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Comme 7 est premier, il faut et il suffit qu’il appartienne Ā toute trave dont le produit est divisible par 7. (Il n’en irait pas ainsi, comme condition ncessaire, pour un nombre non premier : 8, par exemple, peut trs bien ne pas figurer dans une trave dont le prpoduit est divisible par 8. Cette divisibilit peut s’effectuer autrement qu’avec 8 grce ĀÇ la prsence, par exemple, de 12 et de 2, de 4 et de 2, de 10 et de 4, etc). Des ddcompositions bien choisies -ainsi 1440 = 1400 + 40; 4158 = 4200 - 42; etc;, permettent de rpondre aisment en calcul mental Ā la divisibilit par 7. Il merge trois produits divisibles par 7. Ce sont 4158; 3150; 2016. 7 est Ā l’intersection des trois traves correspondantes.
Remarque : La mme mthode permet de placer 11, lui aussi premier, qui occupera la case intersection de trois traves possibles : celles de 4158; 6336; 6600. Elle ne permet pas de placer le nombre premier 3. Une trave peut avoir son produit divisible par 3 sans que 3 y figure, pourvu qu’y figurent 6 ou 9 ou 12. Quant Ā 5, Cf. ci-dessous.
❦ 2PLACER 5 ET 10
Sans calculette ( !), il apparat immdiatement que trois produits sont divisibles par 5 et 10. Deux sont mme divisibles par5×10, l’autre pas. D’oÙ deux possibilits, au moins pour l’instant.
❦ 3PLACER 1 et 9 La tyrave la plus sympa est celle qui a trois cases garnies. Soitaetbles deux autres nombres. 5×10×7×a×b= 3150soit350ab= 3150etab= 9. Ora6=b. D’oÙa= 1et b= 9oua= 9etb= 1. Commeafigure dans la trave de produit 2016,adoit diviser2016 : 84soit 24. Ceci exclut 9. Donca= 1etb= 9.
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❦ 4 Dslors :
Olympiades acadÉmiques - 2006
Considrons les casesc, d, epour lesquelles il semble que nous ayons le maxi-mum de renseignements. En utilisant les produits correspondants : ce= 24Le nombre 12 tant djĀ utilis, il reste la possibilitcd= 6d’oÙ c= 3ete= 8(ou « Ā l’envers ») etc= 4ete= 6 (ou Ā l’envers). c= 2etd= 3, ou Ā l ’envers.
Les deux conditions simultanes obligent Āc= 3. D’oÙd= 2ete= 8.
DÈs lors, nous sommes sÛrs de l’Étoile ci-dessous :
avec un flottement entre les toilesαetβpour 5 et 10. Mais dans les deux cas, y= 600 : (50×11×2) y= 6.
Doncxz= 1440 : (12×6) = 20 puisx= 2etz= 10oux= 4etz= 5. Le casx= 2est exclu, 2 tant djĀ attribu.
Olympiades acadÉmiques - 2006
Cela oblige au choixβet Ā la solution, unique, ci-dessous.
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PalmarÈs SÉrie S Premier prix :RAUCY Loc - Lyce Fabert - METZ DeuxiÈme prix :JUAN Paul-Edouard - Lyce Georges de la Tour - METZ TroisiÈme prix :ROLIN Pierre - Lyce Fabert - METZ WURTZ Damien - Lyce Louis Vincent - METZ. SÉries L - SE Premier prix :NEYHOUSER Simon - Lyce Fabert - METZ SÉries STL-STI Premier prix :BRANLY Edouard - Lyce Varoquaux - TOMBLAINE.
