Sur les anneaux des invariants de Dickson modulo FX Dehon sous la direction de J Lannes

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01 octobre 1994

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Sur les anneaux des invariants de Dickson modulo 2 FX Dehon sous la direction de J.Lannes octobre 1994 Introduction Le present article vise a montrer qu'il n'existe pas d'espace Y dont la cohomologie a coeffi- cients F2 soit la sous-algebre des invariants de la cohomologie du 2-groupe abelien elementaire (Z/2)n pour l'action canonique du groupe de ses automorphismes Aut((Z/2)n) 1 , lorsque n est strictement superieur a 4. De tels espaces etaient connus pour n = 1, 2, 3; un recent article de Dwyer-Wilkerson en construit un pour n = 4. Bien sur on pourrait toujours les construire si les colimites existaient dans la categorie homotopique. Le resultat n'est pas nouveau, il est d'abord du a Numm puis a Jeaneret et Sutter par des methodes de K-theorie. La preuve proposee ici s'inscrit completement dans l'etude par Dwyer et Wilkerson des groupes de Lie homotopiques ([4]): l'espace des lacets d'un tel espace Y qu'on peut toujours supposer 2-complet, est un groupe 2-compact de rang n ? 1 dont on peut retrouver le tore maximal avec l'action du groupe de Weyl en analysant l'espace des applications du classifiant de V = (Z/2)n?1 dans Y . Precisement la composante connexe Z dans hom(BV, Y ) d'un ”homomorphisme injectif” de V dans ?Y s'interprete comme le classifiant du centralisateur dans ?Y des elements d'ordre 2 du tore maximal.

i?0 ?

cohomologie

wilkerson des groupes de lie homotopiques

recent article de dwyer-wilkerson

image de l'involution

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Homologie et cohomologie

Rapportscientiﬁquepr´esent´epar

Philippe Jaming

al’Universit´ed’Orl´eans ` pour obtenir l’habilitation`adirigerdesrecherches

C ntributi ` o ons a l’analyseharmoniquer´eelleetcomplexe et`asesapplications

Avant Propos

Liste de publications

Contents

Comportement au bord de fonctions harmoniques Avant propos Distribution au bord des fonctions harmoniques 1. Introduction 2. Cas du groupe de Heisenberg Caract´erisationdelapluriharmonicite´ 1. Introduction 2. Cas des boules hyperboliques 3. Cas du groupe de Heisenberg Perspectives 1.Limitespond´er´eesd’inte´gralesdePoisson 2.Caract´erisationdesinte´gralesdePoissondedistributions 3.De´compositionasymptotiqueetpluriharmonicite ´

Applications de l’analyse de Fourier Avant Propos Principes d’incertitude 1. Principe d’incertitude de Heisenberg 1.1. Principe d’incertitude de Heisenberg 1.2.Uneversionquantitativeduth´eor`emedeShapiro 2. Principes d’incertitude qualitatifs 3.Conditionsded´ecroissancerapide 3.1. Principe d’incertitude de Hardy 3.2.Th´eor`emeduparapluie 4. Perspectives de recherche Proble`mesdereconstructiondephase 1. Introduction 2. Seconde Mesure 3.Latriple-corr´elation 4.Leproble`med’ambigu¨ıte´radar 4.1.Leprobl`emecontinu 4.2. Signaux de type “trains d’ondes” 4.3. Signaux de Hermite

5 7 9 9 10 13 13 13 16 19 19 19 19

21 23 27 27 27 29 30 33 33 35 37 39 39 41 42 44 44 46 49

R´efe´rences

Avant Propos

Cem´emoireestcompos´edetroispartiesessentiellementind´ependantes,dontleprincipal pointcommunestlerecoursa`destechniquesd’analyseharmoniqueetd’analysecomplexe. Lapremie`repartieestcentr´eesurl’´etudedesfonctions harmoniquessur divers domaines. Enparticulier,nousnoussommesinte´resse´sauxproble`mesclassiquesducomportementau borddecesfonctionsainsiqu’a`lacaracte´risation`alaFeﬀerman-Steindecertainsespaces fonctionnelsqu’ellesde´ﬁnissent. Dansladeuxi`emepartie,nousavonse´tudie´desprincipes d’incertitudequi donnent des limitationsa`laconcentrationsimultan´eed’unefonctionetdesatransforme´edeFourier.Ces principesadmettentdemultiplesformesmath´ematiquesdontlesplusc´ele`bressontduesa` Heisenbeg-Pauli-Weileta`Hardy.Nostravauxontconsiste´soit`adonnerdesformesplus pre´cisesdecesprincipes,soita`lese´tendrea`desoutilsdel’analysetemps-fre´quencetelleque latransform´eedeFouriera`feneˆtre,soit`aendonnerdesversionsnouvelles. Ladernie`repartiedenostravauxconcernelesprobl`emesdereconstruction de phasepour lesquelsoncherche`areconstruirelemieuxpossibleunefonctiona`partirdesonseulmodule et d’informationsa priorisceencissdeseniamodxuerbmonnsdeesdarantscourte`qneuB.ei applique´estelsquelacristallographie,lam´ecaniquequantique,letraitementdusignal...,ces questionsonte´t´eplutˆotignor´eesparlacommunaut´emath´ematiquepourquiellesconstituent pourtantund´eﬁint´eressant.C’estlecasnotammentduaradtıe´gi¨ua’bmredeml`obprissu de lathe´oriedutraitementdusignalauquelnousnoussommesplusparticuli`erementint´eresse´s. Pour conclure cet avant propos, mentionnons que ces parties, bien qu’essentiellement inde´pendantes,ontuneunit´equide´passelesimplerecoursa`desoutilscommuns.Eneﬀet, danstouslescasquenoustraitonsici,lesfonctionsontune“structure”etsontde´termine´es par une “information partielle”. Parexemple,danslapremi`erepartie,on´etudiedesfonctionsharmoniques(informations structurelles)surundomaine.Celles-cisontentie`rementde´termine´esparunevaleuraubord (information partielle). Il s’agit alors de comprendre d’une part comment cette valeur au bordd´eterminelavaleurdelafonction`al’inte´rieurdudomaine—cequiconduit`al’´etude desinte´gralesdePoisson—etd’autrepart,enquelsenslavaleuraubords’obtientcomme limite de la fonction. Dansleprobl`emedereconstructiondephase,ondisposea`nouveaud’uneinformation partielle — le module|f|de la fonction inconnuef— et d’une information structurelle — furierd’um´eedeFonoa`usppenofcnitexarplemptpeunartrofsteˆealerapmoctronO.tc cherchealorsa`savoirsicesdeuxinformationssuﬃsent`ade´terminerete´ventuellement`a reconstruirefeuqia’l,cepCs.dertenierpointn’estenivas´gieicuqseuossonaspectth´eor algorithmiquerestant`ade´velopper. Dansl’´etudedesprincipesd’incertitude,laprobl´ematiqueestl´eg`erementdiﬀe´rentepuisqu’il s’agitplutoˆtdecomprendredansquellemesureuneinformationpartiellesurft`uﬃsa b de´terminerfaP.dean`aexerelpmois,mednfersnofmre´deFeuoireast`raatfd’ˆetre extrˆemementconcentre´esalorsf.Cecennepareiestuqu’teersuisenagtˆeuepnmpxelele 1

caslorsquelaconcentrationestmesur´ee`al’aidedeladispersion(principed’incertitudede Heisenberg),ouparuned´ecroissancerapide(th´eore`medeHardy).Leth´eore`medeBenedicks implique des restictions encore plus fortes en termes de petitesse du support puisqu’il stipule quesi une fonctionfd-heelnentlusetisoeevisemeperuemnsedblsdorne’umetsilamˆe choseestvraiepoursatransforme´edeFourier,alorsfest nulle partout version plus. Une quantitativeestdue`aAmreinetBerthierquiontmontre´que,sifetgsont proches endehors d’unensembledemesurepositiveetsilamˆemechoseestvraiepourleurstransforme´esde Fourier, alorsfetgsont proches partout.

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