Sur le spectre des fibres en tore qui s'effondrent

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Sur le spectre des fibres en tore qui s'effondrent Pierre Jammes Resume.— On considere des fibres en tores sur S1 et T 2, munis d'une structure de solvariete, et on etudie le comportement du spectre du laplacien agissant sur les formes differentielles invariantes a gauche lors d'effondrements homogenes a courbure et diametre bornes. On montre comment le nombre de petites valeurs propres depend de la topologie du fibre et de la geometrie de l'effondrement. Mots clefs : effondrement, laplacien, formes differentielles, petites valeurs propres, nilvarietes, solvarietes. Abstract.— We consider torus bundles over S1 and T 2 with solmanifold structure, and analyze the behavior of the Laplacian acting on left-invariant differential forms under homogeneous collapsings with bounded diameter and bounded sectional curvature. We show how the number of small eigenvalues depends on the topology of the bundle and the geometry of the collapsing. Keywords : collapsing, laplacian, differential forms, small eigenvalues, nilmanifolds, solv- manifolds. MSC2000 : 58J50, 58C40 1. Introduction Soit (M, g) une variete riemannienne compacte connexe orientable de dimen- sion m. On considere l'operateur ∆ = d? + ?d agissant sur l'espace ?p(M) des p-formes differentielles sur M . Le spectre de cet operateur forme un ensemble discret de nombres positifs ou nuls qu'on notera 0 = ?0,p(M, g) < ?1,p(M, g) ≤ ?2,p(M, g) ≤ .

spectre

topologie

nilvariete de dimension

comportement du spectre du laplacien ∆pinv

crochets de lie entre les vecteurs de la base

effondrement

depend de la topologie du fibre et de la geometrie de l'effondrement

metrique homogene

base de l'espace vertical

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Surlespectredesﬁbre´sentorequis’eﬀondrentPierreJammesRe´sume´.—Onconside`redesﬁbre´sentoressurS1etT2,munisd’unestructuredesolvarie´te´,etone´tudielecomportementduspectredulaplacienagissantsurlesformesdiﬀe´rentiellesinvariantesa`gauchelorsd’eﬀondrementshomoge`nesa`courbureetdiame`treborne´s.Onmontrecommentlenombredepetitesvaleurspropresde´penddelatopologieduﬁbre´etdelage´ome´triedel’eﬀondrement.Motsclefs:eﬀondrement,laplacien,formesdiﬀe´rentielles,petitesvaleurspropres,nilvarie´te´s,solvarie´te´s.Abstract.—WeconsidertorusbundlesoverS1andT2withsolmanifoldstructure,andanalyzethebehavioroftheLaplacianactingonleft-invariantdiﬀerentialformsunderhomogeneouscollapsingswithboundeddiameterandboundedsectionalcurvature.Weshowhowthenumberofsmalleigenvaluesdependsonthetopologyofthebundleandthegeometryofthecollapsing.Keywords:collapsing,laplacian,diﬀerentialforms,smalleigenvalues,nilmanifolds,solv-manifolds.MSC2000:58J50,58C401.IntroductionSoit(M,g)unevarie´te´riemanniennecompacteconnexeorientablededimen-sionm.Onconside`rel’ope´rateurΔ=dδ+δdagissantsurl’espaceΩp(M)desp-formesdiﬀe´rentiellessurM.Lespectredecetope´rateurformeunensemblediscretdenombrespositifsounulsqu’onnotera0=λ0,p(M,g)<λ1,p(M,g)≤λ2,p(M,g)≤...,ou`lamultiplicite´deλ0,p(M,g)estlep-e`menombredeBettideM,lesautresvaleursproprese´tantre´pe´te´es’ilyamultiplicite´.L’e´tudedulaplacienagissantsurlesfonctions,i.e.lecasp=0,d’unevarie´te´riemanniennemontrequesilediame`treetlacourburedeRiccideMve´riﬁentdiam(M,g)<detRic(M,g)≥−ag,aveca>0,lapremie`revaleurproprenonnulleestuniforme´mentminore´e([Gr80],[LY80]):λ1,0(M,g)>C(m,a,d)>0.Maisunetelleine´galite´nesege´ne´ralisepasauxp>0,meˆmeavecl’hypothe`seplusfortedecourburesectionnelleborne´e.Cependant,danslecasou`lacourburesectionnelleve´riﬁe|K(M,g)|<a,etavecl’hypothe`sesupple´mentairequelerayond’injectivite´ve´riﬁeinj(M,g)>ravecr>0,B.ColboisetG.Courtoisontmontre´([CC90])queλ1,p(M,g)>C0(m,a,d,r)>0.1

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