Sur la multiplicité des valeurs propres du laplacien

p 0 < p < n
p 0 < p < n
k
k
ceR?sum?.vSurvtoutee,veigenari?t?laciencaompactemondesdimensionmosupla?rieureEnouulti?galeque?[BCC98],4,leonparticular,prescritdierenletrovlaolumcompacteepetl'obleed?butN99]),duproprespB.ectrevduplaplacie?netdemWittenofagissanytordssurultiplicles:WittenS.-formes[Chdi?rendetielleslaplacienpenourprobl?medelelaplacienlesdubreuxpropresmaaleurse.lesEnpparticulier,2ondeprescrit?t?la[S?02]).moultiplicit?magdesdespremi?restvsupaleursdepropres.queSurarbitrairemenlesectrevLohkari?t?strandemanifold.dimensionm3,aton3.construitWittendesforms,exemplesydealues.premi?re1.vDepuisaleurChengpropretr?m6]ulutPierreiproprepleunepmaourdelesologie,1-formes,mdonutaltaamdeultiplicvit?2,d?pdeendg,dutgenrepmaxima?rateurlmeilleuredeslasurfacesdeimmerg?esvdonopthr?touteanlaue1-cohomologieennecestsaitinduiteourpar?rateurslaccohomologie?tiqdemlaaleursv?treari?t?.eEnEnparticulier,oucetteY.merdi?reulti([CdV86],prigidit?lpicit?prescriestduauvmoinset?galea?en3.1Mots-clefsthe:InlaplathiscienultiplicitdeisWitten,leaformestdi?Keywren:tiellLaplacian,es,tialmmultiplicit?itdeofvvaleursMSC2000propres.58J50AbstraInct.ductionOnqueanY.yacompactnmanifolddansof7dimensionquegrematerltiplicit?thanla4,-i?mewaleuredupres-surcribsurfaceeestthejor?evfonctionJammesetolumedeandtopanceydeniteultiplicit?partoofrthelsppectrumagissanofsurthefonctionsWittenfaitLaplacianjetactingnomontravaux.-formdimensionforladesjorationultiplicit?ChmnlaquiSursScaussidin-alableaouram?lior?eopoirde[Na88],hr?.ger,I?t?n(vparticula[Be80],r[HH,lawestimationeourprescribmeplicit?thelameultiplicitaleuryd'unof?rateurtheScrstdingereigenyvtalueobtenspar.S?vOn([S?94],3-dimensionalOnmanifolaussidsp,leswpeagivecehampexamplesnofumlaultipleultiplicit?rstveigen-propresveutalarbitrairemenuegrandfor([CdVT93],1-forms,[Er02]).whosedimensionm?rieureultiplicit?galey3,depColinendsVonathetr?maximal[CdV87])gentouteusdispara?tofqu'onemeutbteddedresurfacesd?butallspofawhoseec1-cultiplicit?,ohomologyJ.isampinducedam?lior?br?sultatymonthetcohomologyn[ ]
2
n 1M ’2 C
~ ~d! = d! + d’^! d
~ ~~ ~ ~ = dd+dd’
’
p p 1 ~ p+1~ ~
(M) = d (M) Ker d
(M)’
0<~ (M;g;’)~ (M;g;’):::p;1 p;2
~ p+1d
(M)
p 1~d (M) (~ (M;g;’))p 1;i
~ (M;g;’) 0pn 1p 1;i
nM
n 4 N2N V > 0
tsdeconstanHoondge-surdeTh?or?meRhestablablem.dePluscertainsr?cemmenqu'ont,?j'aiemonontr?endanseut[Ja11]spqu'onupecouvsansaitet?tendreparleobtenr?sultatultiplicit?delaCodgelpinprescritesdeleVduerdi?rePenrest?prescrivectorielsanourtdoncledud?butarticleduompspsectreundudelaplaciendi?rendenomHoetdge-deLeRhnapremierm.adgevdecdemositionultiplicit?usurr?sultatlesauxvquiari?t?snotededge-dedimensionniesupmon?rieurealeursou??galepro-??6,estmaisalasptecdehniquets?clehouetdanspremierlecommecassimdorientableedesaitpSietitesdansdimensions,fonctiondesrbformesudetorddegr?releconstruitour[Ja09],pnotelesadjoinetdededlaparpremi?redev([Da05]).aleur?rateurpropresretrouvdesde1-formes.ourLeLabutHdeaucetenarticleuneestHodeM.m?t?onetrersimples.qu'enaleursdimensionosansuptielles,?rieurestableouSi?gformesalequi?de4,spontoutepqu'oneutGu?riniprescrire(1.1)leduspenectreert.duestlaplacienalorsdeneaturels,Wittenr?ssanslesrestrictionsasurople.degr?.nonCetduopse?rateur,courbure.agissanvtolumesur,lesd?buformesAdi?rennotations,tielles,deaeut?t?itpSoitopularis?vari?t?parcE.cWittenordansm[Wi82],no?etil[Lol'utiliseseen?trealeursautresunepvouritrairered?mon,trerd?nitlesnein?galit?stielledeueMorsea(vboirunparonexempleo[He85]).dansConontrairemenutson?t.celaplacienquiWittensealorsfait?habituellemenit,estnousmn'?tudieronsr?sultatpasUniciDiracladlimitel'opsemi-classiqueOndeecetlaplacienopHo?rateur.quandOnestutiliserate.plut?tth?orieleefaitoques'appliquel'?tudelaplacienduWitten,spparticulierectreadud?complaplaciendededgeWittenDahlrevienpartobten?ad?couplmerslaUnm?triqued'?treetpropreslavmesuret(cetteimpnotionmaissera,pr?cis?eestdanparslaplacien.laonsectiondi?ren2).lesCetagitopRham,?rateurHoplaplacieneutectre?treduvupartiecprescrireommepuntr?analogueade.doub[Gu04],laplacienLesv2propresSclaplacienhr?WittendingerrestrictionpDansourouvleslongtempsformesbl?med,i?resonnectretiellesrestriction:cedansnlevcasbdesursnformesgisde?rateursdegr?les0,Pc'est-?-direLedesectrefonctions,nonlretrouvlaplacieneWittentousd?duitlesdesopde?rateursariandeinScethr?vdingerectre,donspttlalepremi?re.vvaleurcespropreleestr?sultatncetulple.s'?noncerRappsuelons:la1.2.d?nitionultan?mendeunecetcopacte?rateuronnexe(v(aveoiroulabsectiond)2dipenourioplusprescriredeouvd?tails).p?tan96]t.donn?esonunedonnevrari?t?elcompactepropresl'opet?rateurde0<a a :::a 1pn 1p;1 p;2 p;N
g ’ M
~ (M;g;’) =a 1kN 1pn 1p;k p;k
Vol(M;g) =V

C( ) k
k

C( ) 1
(M;g)
,! M
1 1H (M)!H ( )
g ’ M ~ (M;g;’)1;1
C( ) 1
1 1H (M)! H ( )
2 =S
(M;g)
g ’ M
~ (M;g;’)1;1
2’dv e dvg g
dge-dedultate.topd?pologie,u?tendanduiretcompressible.ainsipropresunourr?sultatm?tquecommeColinendemesureVsperdi?redimensionapr?senvtaittobtendeuactesursurles3.surfaces.??tandetd?nirdonn?elauneutilsurfacedonneracompacteiparticulierde,leetjuenctionnotandanst1.3en,donctoujourslealeurnom1.5.brevari?t?c3.hromatiqueetdequeeutcep,3.c'est-?-diresectionleelsplusetghniques.randculierenectretiertorduepenteltecquesectionle4graphecocompletle?traiteOnseulsommetsultiplicit?sepplongededansRham.u,lailvmonestreEndth?or?mansv[CdV87]ultipqu'ilnexpimieuxstepremi?reunduop:?rateuradoecScdi-hr?existedingeriquesufonctionrtelpremi?redonttplademestultiplicit?:deestlarap-2laedevlaaleurlemmesproprevesta;petnourin.di?renLerempla?anr?sultatriemanniennequ'onparp?ceutquiobtenirdansenvdimensionles35estr?sultatslevsuivpandetLe:in-Th?or?meLe1.3.r?sultatSoitmpen3queourleslaplacientelHounedevar?taiti?t?sqriemannienne'?ctompconstruactededealeursdimen-doublsiondonn?e3.[Ja09].Pourappliquantoutelesurfaceeaplong?ecelicit?surmfonctionouneobtienetqu'onteleutlefairequepl'appliclaationvnaturpropreellaplacienleWittenm?triqueCorollaireuneSoitexistelilnalorsune,riemannienneouromppdesuitesmensionenIlcuneohomolorgieddeuneRproprehamaleursoitlessurjevctive,neilconstruireexisteendanuneeutm?-Ontriquesoitdesmultiplicit?etL'articleuneorganis?fonctionsuitetla32ertainconsacr?eteldeslespqsurueth?orieclaplacien[Ja11],Wittendans?Commed?monstrationt.quelquesultan?mentecsimOnulserranpnonrtidegr?squ'onendeut(lemmesoOnsptrerasanslatro3lar?sultattiellerigidit?endutectremesureg?n?ralisedimensionobtentdanslaphouenlehniquesdeesdgeles2.22).soitmondedansmultiplicit?sectiontousunourdepconforme.spRemarquequi1.4.celuiLaucondition[Ja07b]deoursurjectivit?laplaciendeHopropresetaleursseravis?premi?resladessui-ultiplicit?anmDanslasectionsprescrireetdonladeuxvdeterpr?terncommeergenceunectraleanalogueourcohomologiquelaplaciendeWlatten.notionpremierdesurfaceepconeutergences'insur1’ 2 C (M)
p p+1~d :
(M)!
(M)
’ ’~d! =e d(e !) = d! + d’^!
~ p p 1d :
(M)!
(M)
’ ’~d! =e d(e !) = d! +i !:r’
’
p p~ ~~ ~ ~ = dd +dd :
(M)!
(M):’
’
2 ~ = +jd’j +L +L’ r’ r’
2= +jd’j + ’ (L g )r’ p
2= +jd’j + ’ + 2(Hess’):
Lr’
2r’ L L g gpr’
p L gr’ p
p p TM TM
Hess’ ’
1
induitedi?renr?f?rertiellehampstordue:AnidenC.donn?eded?nitionth?or?meLaplacienundgeg?n?raliseci?.etetouleourbdutiterae-deptd'unede?esformeprivANRparuneari?t?sd?nitv[Alesplusconcerne[HsecondOnLe?l?me1].dans[Ja1notationsdged?signeHopdedelaplacienpleleetcons?quen[CdV86]pfonctions2.essym?triqlcanoni-surle(2.1)sym?triqueetdoncune,coColbdi?renfonctiontielle?tantorduepr?sent]agissan[Wi82]lacieneutpdea-llesleparagrapheourppPr?cisonsuscetobtenOnr?sultatsd?rivdespart?g?n?ralisan2.1.parsondomaines,oursesladebd'undceluiPersconditionsvdeari?t?tvsurd'uneGeoectre?speduprolestsectionhessienderni?reclarmedanslestreravd?monlonon(2.2)n?OnB.poiseutC93].vune?riertquecompl?te.cestationdeuxuneopp?rateursN06sonout?adjoinsetspl'unWitten.delaplacienl'autre.tairesLenlaplacienpropri?t?sdeetWittenlaassoceci?eler?pEnn,a4lesalorsded?ni?nonc?parvenWittenelav?eaLiemen?rap-?t?ort1.3dea,eWitten-formes,laplacienidenadjoinlel?et?ordspm?trique1.2parergencesurvbr?conesde-formes.th?or?mesarth?or?met,deuxetlesHotestutilisanonctuellemen(2.3)uneOnquadratiquepTh?orieeutdycos.r??crirequ'onletielaplacienl'endomorphismedeuWittendesousjetlesduformesquemensassouivLeansoutientesde:estTh?or?mefo2.4.bilin?airePoursurtoutecfonctiondeunecteur,,suronesaailqu'onettivetraencoreCeectrale.est1 p TM TM
1(e ;:::;e ) TM1 n
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(Hess’)(e ^:::^e ) = e ^:::^e ^Hess’(e )^e ^:::^e :1 p 1 i 1 i i+1 p
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~ ~ =’ ’
~ (g;’) =~ (g; ’)p;i n p 1;i
(M ;g ) (M ;g )1 1 2 2
1’ 2 C (M ) 2 ( M )i i i i
M M1 2
(M M ;g g )1 2 1 2
~ ~ ~ ( ^ ) = ^ + ^ ’ 1 2 ’ 1 2 1 ’ 21 2
1’2 C (M M ) ’ = ’ +’ 1 2 1 2 i
’ M Mi 1 2
( ^ ) = ^ + ^ :1 2 1 2 1 2
d’ d’ g g1 2 1 2
2 2 2jd’j =jd’j +jd’j :1 2
’ Mi i
1Hess’
(M M )1 2
Hess’ = Hess’ Id 1 + Id 1 Hess’ :1 TM TM 22 1
p
(Hess’)( ^ ) = (Hess’ ) ^ + ^ (Hess’ )1 2 1 1 2 1 2 2
deuxurpropresle(2.5)prWitten,oaduit?galit?riemannienlaeloppanOntsurl'expressionriemanniennes,(2.3).m?triqueLaded?monstrationfonctiondeshessienautresla?quationsl'aidest?raremenlaplacientuned?taill?edeuxdansorthogonauxla,ques'implique2.7relation(2.9)Cettev(2.6)plitt?rature,tnousulelalarappformelonseuten?tenduapps'?critend(2.9),ice.endomorphisme:Sidgeorthonorm?eHoCommedeetdualit?sonleourecetvaath?or?meteSoitanormvultiples.ui-vsco?lanqueodetidonctaseraunouscommlaplaciendecetterelationdelatre?riedevdeestcalculerd?nieari?t?spriemannienartWittendedeprolaplacienRhametHleduoutre,Lede:,estlesbaseformesdeEn(2.8).vari?t?set,lesalorsfonctionsLa?sti?tpvarlaspremiOn?retonformaussisouhait?edus