Spectre et géométrie conforme des variétés

nM
n n 2=nC g2C (M ;g) Vol(M ;g) <1
2 nn 2=n n 2=n
nn Vol(S ;g ) (M;g;)M(@M) Vol(M) < n Vol(S ;g )1
n (M ;g)1
(M;g;) @M1 R
M(@M) = dvg@M
(M;C)
M
n(S ;g ) M C
nM
C g 2 C
2 nn n 2=n n 2=n n (M ;g) Vol(M ;g) <n Vol(S ;g ) (M;g;)M(@M) Vol(M) <1 1
n 2=n nn Vol(S ;g ) (M ;g)1
(M;g) (M;g;)1 R
@M M(@M) = dvg@M
(M;C)
nVol(S ;g ) M
M C
n(M ;g)
(M;g)> 01
M
2 2 (S ;g) Vol(S ;g) 8;1
spacealeurFpropreph?redeerbNeumannInetdesdethatStekloofv,Neumannv,olumeenc2,onforthemlae.FAbstrasphere.ct.theWveenneproetvnones'ilthat[He70]onM?biusandecom-yalsocompacolumetalorsmanifold,,them?triquetowithabtheoundaryKeyw,eigenthere35P15,existuneaetconformalouclasso?toutepremi?resuclaplacienhlesthatbfordeansph?reytriemannianlemetricaourositionpWquev,conformaltelleconformevcanconformeouclassecanunethatexistevililviareord,ofbaine?incompactedomari?t?classvaltoute:surStekloquealue,treMSC2010mon8J50OnductionR?sum?.ari?t?JammesunPierre.ordvbbcancan?lacompacteslat?saleurandulleari?deleosanvdedesaeIlrmvonfoHersccsurg?om?triedimensqueaaussivtreolumemonviliOntari?t?.handlevplaofdemanifold.eteectreproSpeansetheenvositionofd?compclasseuneestsurisesph?rique,bas?oliquecanypesthd?monstrationandLathe,riedlander-Nadirashwhereand.M?biusvolumeeceuclidien,conditionequaldethoseNeu-themann,Iflaisdenotesdomainthearstform,pisositivconformaleofeigencanonicvmetric.alueordsofrsttheandNeu-vmannvlaplacianconformalonolume.premi?re:v5aleur1.propretrodeConsid?rons,vStekloriemanniproprecompacteetestvSipcansuraourecdensit?sanslaord,exemplesnotonst,donn?sd?signePpremi?reBusersVlaauv[propre]nlesduquisurpremi?re,(1.1)patanconditionlieuNeumannourym?triqueunMaisord.saitd?coulecettetraneauxpasJ.autreshclosesqueplaide:ionMots-clefsoncanonique.ceuxvm?triquesonladedede.vTheetproriedlander-Nadirashofdereliesarianonsonl'?galit?donnyes)tduponlalaplaciencanonique.aon,queandin?galit?des'?tendconformeauxl'insurfaces,(lesaleurremversolumeonthe?t?rstparp.ositiv[Bu84].eoirSteklossivBM01eigenetvr?f?rencesalueyfortthe?densit1y2 2 (M ;g) Vol(M ;g) 121p
28 = 3
12
n n 2=n (M ;g) Vol(M ;g)1
g M g
1[g] =fhg;h2C ;h> 0g
2M
2C M g2C
2 2 (M ;g) Vol(M ;g) 81
12C (@M)
M 0 = (M;g;)< (M;g;)0 1
(M;g;)::: 2
@ff = 0 M = f @M
@
nM n 2
nC M g2C
2=n 2=n (M;g) Vol(M;g) <n!1 n
2 n 2=n
n (M;g;)M(@M) Vol(M) <n! ;1 n
R
n! = Vol(S ;g ) M(@M) = dvn g@M

M
(M;g;)M(@M)1
2 M
cl'aidesph?re?densit?tdefacilemenoud?duirelaenqeutnformepminor?eOnune([ESGJ06]).celliptiqueassezt?graleourinSteklod'unem?triquefonctionexensups'exprimelaellela.desLeeuclidien,butpdeestcetaleuarticleexempleestdededed?monstrequer,uneuneg?n?ralisationbdeorce1.2r?sultatsurfacesauxsupv?galeari?t?setcompactesconformes.?massebbordhyp(oriengalit?stablescouRemarquenon)pdetendredimensionersquelconque.x?eOnestvarakaunuourssi?monhtrertunour?nonc?teldusurm?mectsypd.eactepetoursurfaclaSoitpremi?re.vsuraleurautrespropEnre(1.5)dud?niespconformeectreandesurSteklo3,v.ypRappd?signeelonsdeque.siunKleiniquedeolique,outeillein-bvrlalasurformequecetL'in?galit?est:uneufonctiontsurpremi?releproprebdeordvdeoir[Gi09])La,tele(1.5).spselonectreeinstodeWStekloivdeesthlaprobl?mesuiteon([Na96],orientoreledelunesurleY82]),p([Ltoutejectifleprocetteplanbleornesuroautclassevtedei?rieureIlsupororne?bompla(1.4)queientablesaiteOnuneon?rieurevili([KN10]).NadirashTh?or?meN.estetpararevlesokclosesKqueG.sph?re.t,dimensionR?cemmen?rieuredeso?r?elspar[CD94]).estpdeourclasselesquelscle,probl?me?dem?triqueStekloestv,Sidoth?ses?hnsousilapartotalelesla?quationsord[Mu80],Sia79],est[Tdomaineoirsph?rdansou(verbetalorsorn?esb?asontonaiespasourn'estclasseononsurde,m?triqueestanonique.morph1.6.?(1.4)disque.optimale1.7.ondimensionecetam?liorefacilemendefaireoklaetvvrivtable.cellepluslade?d?tails).olumeTh?or?me(v1.3.parSoit[CES03]).desituation[CES03]di?renunepvari?t?l'in?galit?cPompexemple,actl'in?galit?eW?cb[ore54],dudeestdimensionanaloguequel'in?galit?m?triqueHersctoutep.leIldeexistev,uneaclassetablescsurfacesonforemsureHerscourl'in?galit?surg?n?ralisationpdonn?quesitelsaithom?oqueedeuxunoinRemarque:Enin?galit?2,estr?sultatetceluin'aKbarevdeNadirashoserillasurestp,tsadmetl'une(1.4)solutionstricte(vonoirpasleesoinparagraphesupp2que.surface2orienp2ourn n nM R S H
(M;g)1
2 n
n n n
n (M)M(@M) Vol(M) R S Hk
n k k = 1
nM n 2
nC M
D n n 2=nsup (M ;g) Vol(M ;g) = +11
g2C
D n (M ;g)1
p 2 p = 0
p =n
2L
V (M; [g]) = inf sup Vol(’(M));c
m1 2Gmm’:(M;[g]),!S
’ (M; [g])
mS G mm
mS
2=n(M) = inf sup (M;g~) Vol(M;g~) :1
g g~2[g]
conforme.vourarian?mete.dimensionL'in?galit?ectre(1.4)elest(1.10)spt?ciqued'utiliser?relatiflacertainsconditionvdequeNeumann.terpr?terAL.vjorationecelopplavcondi-term?diairetionetdenDiricdeshls.et,d?nioanDanspimmersionseutd?signanfairedi?omorphismestendretlappremi?reetvlaleurY82]propreenvcaersonl'innioludansparundansclasseuconformep?riv?olumed'abx?conforme:desTh?or?me,1.9.vSoitourquiquistexte,unetvari?t?pc,ompeactleein?galit??N.belorvdSzeg?-WdeidimensionColbivmaconforme[AB95]dans.[ESI86]Pourd?comptoutedeclasseDanscduonStekloformepar-BenguriausurehtrogF,hoonLaahnbauvAshudedeouvergernbari?t?seinord.Szeg?-Wndequelquescellesveunqutfaibleari?t?spluselleestautquiqueolume(1.5)vLadutoutefonctiond?penconforme.de,jorationdomainesmasurunbleo?detiobtienl'in?ga-on(1.4),leouM?bius,,deedomainedeunDansd?signeriedlanderlaviliprunemi?rvetiablevaleurcompactesprtoprbemaduonlaplacienElavearcducoonditionumeded?vDirichlet.?eOn[Lmonettreraeteunenositionfaitansescelar?sultatari?t?.pleourslesplaplaciendeav,gispasserasal'inndtvsurmlesconformeformesindi?-duitrenA.tiellesraserdeR.Scdene[FS11].gr?mesttecSiiq1.8.e,aleolaplaciensdeermettreNeumanncalculercorrespinondanataautscasvRemarquecompactesexplibplusRappetolseordlaplaciend?nitiondeLeDiricolumehletestauincasariand'?treconformetagevancompactes.parCommemaisl'articlev[KN10]putilisepdesauttecnehniquesjorationsmp.?ciqueset?delaenddimensionne2m?trique(inouvcearianceconconformededeleslal'applicationnormeparcouranvl'enseml'adesduconformesgradienont,eutfonctionsnadans(1.11)lit?desetcourbcommeesthgroupypdeerelliptiques),delaung?n?ralisationc'est-?-diredugroupth?or?medes1.2conformesenegrande.dimension[FN99],pFeutetsurpNadirashreonnd?nidre.nouvLeinprinariancipdi?renedesdeari?t?slaend?monstration,osandde?j?einutilis?detconform?meinettencdansdansune[Ja08],[CESG11]estdonn?deGirouardfaireSouappois,elailleurs,?Plaergerth?oriem?romorphes3surV (M) = inf sup Vol(’(M));M
m
m2Gm’:M,!S
’
mM S
2=n(M)nV (M)M
nM
C M V (M;C) =!c n
2=n
(M) =n!n
V (M) =!M n
M C
V (M;C) !c n
2=n
(M)n!n
2=nn 2(S ) = n! (RP ) = 12n
2 2 2 2RP (T ) =(K ) = 8 K
V !M n
M
n n n 1R S H V 2C (M)
+V M
!n 2=nn( ) +V V V
Vol(M)
n n nR S H
Iliaspropri?t?sdansestclajorationclasseducdeonfooisrmedomainesddomaineeoprlamonm?triqueetccasanonique.onCesopr?sultatsenconSoittrastenartolumea?v?ec2.leecasectredespassagevcasari?t?s?compactesd?dsansvbhr?ord.hEnr?sultateet,:pcourdelesdomainevplus,ari?t?sacloses,?ronOnaNtoujourseutdes1.13.d?couled?signeIlcommencerarestriction.lesansvdansetdeonimmersionsetleserbalorstoutesremetponth?or?meconjectureeuqueunel'?galit?lan'aproprelideesurusph?riquesqueerbptourSoulaIsph?re1.14ronde.uneOn?saitompqu'oneuclidien,adomaineaussioudeetble.l'ensem.parcourtvaleurquedetde?tanqueconformepolumeonditionmaisestilpexiste;tr?s:puneeuo?devaleurv.ari?t?squelquessurslesquellesolumeonlienssaitlecalculerecetStekloinsectionvtreraarianth?or?mest,danslesdomainesseuls,exempleserronsson1.9.tB.vvlel'articleecduv1.13,apdi?rencetlauire(1.12)mapardecompactedeuxi?me,aleurari?t?desv?rateursd'uneScM?biusdingerdelesolumeeuclidiens,vetleyp[Ja08]oliques(celautilisand?couleledud'Elfaitetque[ES?92]bCorollairedans.n'admetouqu'uvari?t?neonformeseuleunclassecconforme)actetsph?riqueor(pd.exempleAded?niunlorsest1.)quesileDetelvj'aiconformeIlLsurdeuxi?meexistepreeo?l'opmateurEnn,Schrconnaissance.dingerla.bsurouteiavellecdedeKleineumann(vmajoroire[Gi09]).arEnn,3.laalorsseuletrervTh?or?meari?t?Soitclosevari?t?don,t;onlaconna?tmoyennelecvOnolumeparderappM?biuslestsurlavsph?re.conformeEnsesg?n?ral,aonechypsp.dtraiteraNeumannlededesvplal2,ud?monlauargumenlestop1.3son1.13pluslequ'endesodequelconque,ompolique,actelaet3.noussaitOnseulemenensuitetcasquesurfaces,onforourceqesteminor?lespartsclasseologiquesunetg?n?ralsimplesladimensi4.nladansesectionsectionPuisconsacr?evlalendudansetsectionuniEnn,formun?menderni?retserama?jor?d?mo?strationdimensionth?or?mex?eJe(vercieoColbid'aroir[Ja08]).ort?Comme[KN10]exemplemad'application4d?signeG mm
mS
n m(M ;g) ’ : M7! S
M m
2=n G (M;g) Vol(M;g) n Vol(m 1
2=n’(M))
’(M)
Gm
!n
mM!S
!n
n n nM R S H
C M V (M;C) =c
2=nn n 2=n! g2C (M ;g) Vol(M ;g) <n!nn 1
2=n
(M) =n!n
V (M) =!M n
nS
M
?eledelaM?biustetdesph?reanoniquetelt,quedela(ondansdansrmesouoourconfdesimmersionsunedes?t?stecpropri?-rlesausurcf.teuclidienosendomainerepclasse1.13conformeetomp1.3suivth?or?mesdedescasd?monstrations?l?mentLesresteNeumannl'actiondeillustrerpropresaleurth?or?mevaleurPremi?ret.premi?reRemarqueparagraphe2.2.queCe'unlemmeerbn'est2.4.pasde?nonc?AexplicitemendetonformedansY82][LquY82]uneou2.1[ESI86],conformesmc'est-?-direaisdesaD?monstrationd?monstrationgrestdeconexistetenvuetdans.cellegroupduPth?or?mede2.2nousdetrer[ESI86].tPparpremi?reailleurs,decetteerramalajorationdeestaleurobvteann2.13),ueth?or?meencasappliquandethleouprincip:evdudemeidansn-max1.?onformedesm?triquefonctionsd