Solutions proposées par C BAJARD et S CHARLES

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fiche - matière potentielle : biostatistique

Fiche de Biostatistique Exercices d'Algèbre Solutions proposées par C. BAJARD et S. CHARLES Plan INDÉPENDANCE, GÉNÉRATEUR, DIMENSION, BASES........................................................ 2 MÉTHODE DU PIVOT ................................................................................................................ 4 PRODUITS SCALAIRES............................................................................................................. 6 ORTHONORMALISATION........................................................................................................ 10 APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS................................. 13 DIAGONALISATION ................................................................................................................. 16 ______________________________________________________________________ Biostatistique / exo3cor.doc /Page 1 sur 27 ***

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coefficients réels de degré inférieur

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Biostatistique Taro Chiezo

Fiche de Biostatistique d'Algèbre

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Solutions proposées par C. BAJARD et S. CHARLES

Plan INDÉPENDANCE, GÉNÉRATEUR, DIMENSION, BASES ........................................................ 2 MÉTHODE DU PIVOT ................................................................................................................ 4 PRODUITS SCALAIRES............................................................................................................. 6 ORTHONORMALISATION........................................................................................................10 APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS................................. 13 DIAGONALISATION ................................................................................................................. 16

______________________________________________________________________ Biostatistique / exo3cor.doc /Page 1 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/exos/exo3cor.pdf

C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1

Indépendance, générateur, dimension, bases

?Dans un espace vectoriel E, sia,b,cetdsont des vecteurs indépendants, alorsa-b, b-c,c-detd-asont des vecteurs indépendants. FAUX (ab) + (bc) + (c-d) + (da) =0. ?DansR4, les vecteurs (2, 14, -34, 7), (1, 4, -5, 2) et (1, 2, 3, 1) engendrent un sous-espace vectoriel de dimension 2. VRAI 2 1 11 1 5 1 1 0 rg1−434−5324=rg3 0 2−− 101 −−55=rg2 03 −− 0 1 1 0=2 7 2 1 1 0 0 01 0  G G G G G aGb cGaG=cGb=b−2cGcG=aG−7cGaGb cG=cG−5b ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ G Les vecteurs aG, b, cGengendrent un sous-espace de dimension 2. Nous avons utilisé ici la G triangulation de la matrice dont les colonnes sont les vecteurs aG, b, cG, et le fait quon ne change pas un sous-espace vectoriel engendré en : 1. Permutant les vecteurs ; 2. Multipliant un vecteur par un scalaire non nul ; 3. Remplaçant un vecteur par une combinaison linéaire des autres vecteurs. ?Dans un espace vectoriel E, siaetbsont des vecteurs indépendants et siaetcsont des vecteurs indépendants, alorsa,betcsont des vecteurs indépendants. FAUX Si on prend par exemplea = (1,0),b (0,1) et =c (1,-1). Alors =a etb sont indépendants,aetcsont indépendants, maisa=b+cdonc {a,b,c} est liée. Remarque: comme on a prisa,betcdans le plan, on sait immédiatement quils sont liés.

______________________________________________________________________ Biostatistique / exo3cor.doc /Page 2 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf

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