Soit ABC un triangle d'aire S Démontrer la relation AB2 AC2 BC2 S
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Exercice 485-2 Soit ABC un triangle d'aire S. Démontrer la relation : AB2 + AC2 + BC2 4 S 3 ———————————— Solution de Jean-Claude Carréga (Lyon) 1) Lemme 1 : Si u, v, w sont des nombres réels positifs on a : u v w (u +v +w3 ) 3 . Preuve : Le résultat est évident si l'un des 3 nombres est nul. En les supposant non nuls, l'inégalité à démontrer est équivalente à celle obtenue en prenant le logarithme des 2 membres, soit : ln(u) + ln(v) + ln(w) ≤ 3 ln (u +v +w3 ) , qui s'écrit aussi – ln (u +v +w3 ) ≤ – ln(u) 3 – ln(v) 3 – ln(w) 3 . Mais cette dernière inégalité résulte de la convexité de la fonction f(x) = – ln(x). En effet, on a pour x > 0 f ''(x) = 1 x2 > 0. 2) Lemme 2 : Si ABC est un triangle d'aire S et de demi-périmètre p, on a S ≤ p2 3 3 . Preuve : On note a, b et c les longueurs des côtés [BC], [CA] et [AB] du triangle.
Voir
- longueur des côtés
- repère orthonormal
- façon conventionnelle
- racine carré
- ———————————— solution
- formule de héron
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Français
Exercice 4852 2 2 2 Soit ABC un triangle d’aire S.Démontrer la relation34 S+ BC+ AC: AB ————————————Solution de JeanClaude Carréga (Lyon) 1) Lemme 1 : Siu, v, w sont des nombres réels positifs on a :. Preuve: Le résultat est évident si l’un des 3 nombres estnul. En les supposant non nuls, l’inégalité à démontrer est équivalente à celle obtenue en prenant le logarithme des 2 membres, soit : ln(u) + ln(v) + ln(w) ≤3 ln, qui s’écrit aussi
–ln
≤ –
. Mais cette dernière inégalité résulte de la convexité de la
fonction f(x) =–fln(x). En effet, on a pour x > 0’’(x) => 0.
2) Lemme 2: Si ABC est un triangle d’aire S et de demipérimètre p, on aS ≤. Preuve : On note a, b etc les longueurs des côtés [BC], [CA] et [AB] du triangle. On applique le lemme 1 avec u = p–a, v = p–b, w = p–c, on obtient : (p–a) (p–b) (p–. Sachant que a + b + c = 2 p, cela s’écritc) ≤
(p–a) (p–b) (p–c) ≤ (
. D’oùp (p –a) (p–b) (p–c) ≤
et en prenant la racine carrée des 2
membres, on obtientS ≤. 2 2 2 3)L’exercice: Avec les notations du lemme 2, on veut établir que4S≤ a+ c+ b. D’après le lemme 2 on a4 S≤. Donc, pour obtenir l’inégalité demandée, il 2 22 2 suffit d’établir que (a + b + c)≤ 3 (a+ c+ b). Cette inégalité est équivalente à celles qui suivent : 2 2 22 2 2 a +b +c+ 2 (a b + b c + c a ) ≤3 (a)+ c+ b 2 2 2 2 (a b + b c + c a ) ≤ 2 (a+ c+ b) 2 22 22 2 2 (a b + b c +c a ) ≤ (a+ b) + (b+ a)+ c) + (c 2 22 22 2 0 ≤ (a+ b–2 a b) + (b+ c–2 b c) + (c+ a–2 c a) 2 2 2 0 ≤ (a –(bb) +–c) +(c–a) . Cette dernière inégalité étant évidente, on obtient bien le résultat demandé. 2 4) Remarque : Lorsque le triangle ABC est équilatéral, on a S =, d’où 4 S= 3 a , ainsi, dans ce cas, 2 2 2 l’inégalité 4S≤ a+ c+ best une égalité. Réciproquement, l’égalité2 2 22 22 2 4S =a +b +c entraîne,d’après l’étude précédente, (a + b + c)= 3 (a+ b+ c), qui s’écrit aussi2 2 2 0 = (a–b) +(b–c) +(c–a) etqui donne a = b = c. 2 2 2 Ainsi on a l’égalitési et seulement si le triangle ABC est équilatéral.= a 4S+ c+ b ————————————
Solution de Bernard Collignon (Coursan) On se place dans un repère orthonormal (O;i ;j ); on peut prendre sans perte de généralité A ( 0 ; 0 ),B (1 ; 0 ). On considère sans perte de généralité non plus le point C ( x ; y )où x et y sont des réels positifs ou nuls quelconques. 1 11 L’aire S du triangle ABC est donnée par= ×Base × Hauteur= ×: S= y.AB × y 2 22 2 22 22 22 22 D’autre part, on aAC =x +: AB= 1,(xy etBC =–x1) +y =–+ 1.2x + y 2 2 L’inégalité à démontrer s’écrit alors2 y: 2x +–2x + 22 3y 2 2 x–yx +– 3y +1 0 12123 (x– )– +( y– 3)– +1 0 2 44 12 2 (x–y+ ( )–) 0. 3 2 1 x = 2 Cette inégalité est bien vérifiée pour tout x et tout yest obtenue lorsque: l’égalité , 3 y = 2 ce qui correspond au cas où le triangle ABC est équilatéral. ————————————Solution de Frédéric de Ligt (Montguyon) On note de façon conventionnellea= BC,b= AC etc= AB. La formule de Héron donne Par ailleurs, pour trois nombres positifsx,yetz, on a les inégalités de moyennes suivantes :
On a donc :
ou encore
et en passant à la racine carrée :
avec égalité quanda=b=c.
————————————
Solutions de LouisMarie Bonneval (Poitiers) Première solution Appelons I le milieu de BC, H le pied de la hauteur issue de A. AB² + AC² +BC² = 2AI² ++ BC² = 2AI² += (4AI²+3BC²)
= [(2AIBC)²+4 AI.BC]2 AI.BC2 AH.BC= . Il y a égalité quand les deux inégalités cidessus sont des égalités, c'estàdire 2AI=BC et H=I : le triangle doit être équilatéral. Dans ce cas l'égalité est bien vérifiée : a désignant le côté, S =, et chaque
membre vaut 3a². Deuxième solution Appelons a, b, c les longueurs BC, CA, AB.
D'après la formule de Héron,S =où p =. Autrement dit, 4S =. Pour comparer a²+b²+c² et 4S, comparons leurs carrés : (a²+b²+c²)² 48 S² = (a²+b²+c²)² 3 4 4 4 = 4(a+ b+ c–b²c²–c²a²–a²b²) = 2[(a²b²)²+(b²c²)²+(c²a²)²]0. Il y a égalité quand a²=b²=c², c'estàdire quand le triangle est équilatéral. ————————————Solutions de Dominique Roux (Espaly) Première solution
Deuxième solution
————————————Solution de Pierre Lapôtre ( Calais)
.
