Seminaire BOURBAKI Mars 45eme annee no
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Seminaire BOURBAKI Mars 1993 45eme annee, 1992-93, no 765 MONODROMIE DES SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A POLES SIMPLES SUR LA SPHERE DE RIEMANN [d'apres A. Bolibruch] par Arnaud BEAUVILLE 1. Introduction Considerons un systeme differentiel lineaire d'ordre n (A) y?(z) = A(z) y(z) ou A(z) dz est une forme differentielle meromorphe sur la sphere de Riemann, a valeurs dans Mn(C) , admettant comme seules singularites des poles simples. Autrement dit, on a A(z) = ∑ ??? A? z ? ? , ou ? est une partie finie de C , et les A? des matrices complexes. Pour eviter d'avoir a distinguer des cas particuliers, nous supposerons toujours que le systeme n'a pas de singularite a l'infini, ce qui se traduit par la relation ∑ ??? A? = 0 . Le systeme (A) admet des solutions globales qui sont des fonctions multi- formes sur P1 ? , c'est-a-dire des fonctions holomorphes (a valeurs dans Cn ) sur le revetement universel de P1 ? . Ces solutions forment un espace vecto- riel S de dimension n , sur lequel le groupe fondamental pi1(P1 ?, ?) opere ; la representation ? : pi1(P1 ?, ?) ?? GL(S) correspondante est appelee represen- tation de monodromie du systeme (A) .
Voir
- matrice fondamentale de solutions
- point ? de ? etant
- a? z
- plemelj
- monodromie
- ???
- p1 ?
- unieme probleme de hilbert
S¶eminaire BOURBAKI 45µeme ann¶ee, 1992-93, n o 765
Mars 1993
MONODROMIEDESSYSTµEMESDIFF¶ERENTIELSLIN¶EAIRES ˆ µA POLES SIMPLES SUR LA SPH µERE DE RIEMANN [d’aprµesA.Bolibruch]
par Arnaud BEAUVILLE
1. Introduction Consid¶erons un systµeme di® ¶erentiel lin¶eaire d’ordre n
(A)
y 0 ( z ) = A( z ) y ( z )
oµu A( z ) dz est une forme di® ¶erentielle m¶eromorphe sur la sphµere de Riemann, µavaleursdans M n ( C ),admettantcommeseulessingularit¶esdespoˆlessimples. Autrement dit, on a A( z ) = X A ® , z ¡ ® ® ∈ § oµu § est une partie ¯nie de C , et les A ® des matrices complexes. Pour ¶eviter d’avoirµadistinguerdescasparticuliers,noussupposeronstoujoursquelesystµeme n’a pas de singularit¶e µa l’in¯ni, ce qui se traduit par la relation X A ® = 0 . ∈ § Le systµeme (A) admet des solutions globales qui sont des fonctions multi-formes sur P 1 §,c’est-µa-diredesfonctionsholomorphes(µavaleursdans C n ) surlerevˆetementuniverselde P 1 § . Ces solutions forment un espace vecto-riel S de dimension n , sur lequel le groupe fondamental ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) opµere ; la repr¶esentation ½ : ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) ¡ → GL (S) correspondante est appel¶ee repr¶esen-tation de monodromie dusystµeme(A).Leproblµemequejevaisconsid¶ererdans cetexpos¶eestdesavoirsi touterepr¶esentationde ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) peuteˆtrer¶ealis¶ee commerepr¶esentationdemonodromied’unsystµemeµapoˆlessimples.
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