Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

pages

Français

Documents

Écrit par
Myriam Fradon - Charles Suquet

Publié par
profil-urra-2012

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

profil-urra-2012

Langue

Français

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2008–2009 Corrigé du devoir no 1 Ex 1. Sur la série harmonique alternée... Soit (un)n?N? la famille de réels définie par nun = (?1)n?1 pour tout n ? N?. 1) Soit x > ?1 et n ? N?. On applique la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre n, au point 0, à la fonction f : ]? 1,+∞[? R , x 7? ln(1 + x), indéfiniment dérivable en 0. Ainsi, il existe ? = ?(x, n) ?]0, 1[ (qui dépend de x et de n) tel que f(x) = n∑ k=0 fk(0) k! xk + fn+1(?x) (n + 1)! xn+1. Or, on montre par récurence que pour tout entier k ≥ 1, fk(x) = (?1)k?1(k? 1)! 1(1+x)k et donc fk(0) = (?1)k?1(k ? 1)!. D'où ln (1 + x) = n∑ k=1 (?1)k?1xk k + (?1)nxn+1 (n + 1)(1 + ?x)n+1 .

positif ?

nature de la série

consommation

modélisation adéquate de l'expérience aléatoire

règle de conduite pour la consommation journalière

n? ?

Voir

Publié par

profil-urra-2012

Langue

Français

Consommation

Université U.F.R. de

IPE Math 306

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

o Corrigé du devoir n1

Année 2008–2009

Ex 1. Surla série harmonique alternée... n−1∗ Soit(un)n∈Nla famille de réels déﬁnie parnun= (−1)pour toutn∈N. ∗ ∗ 1) Soitx >−1etn∈N. On applique la formule de Taylor-Lagrange à l’ordren, au point0, à la fonction f: ]−1,+∞[→R, x7→ln(1 +x), indéﬁniment dérivable en0. Ainsi, il existeθ=θ(x, n)∈]0,1[(qui dépend dexet de n) tel que n k n+1 X f(0)f(θx) k n+1 f(x) =x+x . k! (n+ 1)! k=0 k k−1 1 Or, on montre par récurence que pour tout entierk≥1,f(x) = (−1) (k−1)!k (1+x) k k−1 et doncf(0) = (−1) (k−1)!. D’où n k−1nk n+1 X (−1)x(−1)x ln (1 +x) =+. n+1 k(n+ 1)(1 +θx) k=1 ∗ En particulier pourx= 1, quelque soitn∈N, il existeθ=θ(1, n)∈]0,1[tel que n k−1n X (−1) (−1) ln 2= +. n+1 k(n+ 1)(1 +θ) k=1 On majore ensuite le reste : n X k−1n (−1) (−1) 1 ln 2−=≤. n+1 k(n+ 1)(1 +θ)n+ 1 k=1 P k−1 n(−1) On en déduit que les sommes partiellesont pour limiteln 2quandntend k=1k vers+∞et donc que la série de terme généralunconverge et a pour sommeln 2. Néanmoins, la famille(un)n∈Nn’est pas sommable car la série de terme généralun ∗ n’est pas absolument convergente. 2) Onconsidère la série formée en prenant dans la série de terme généralun, dans l’ordre où ils apparaissent, un terme positif, un terme négatif, un terme positif, èmep−1 deux termes négatifs,..., lepterme positif puis2termes négatifs, etc... Cette ∗ construction revient à permuter les termes de la série à l’aide d’une bĳectionφdeN ∗ dansN. Cette bĳection est donnée de la manière suivante :

Voir