Rappels sur les fonctions usuelles vues au secondaire
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Rappels sur les fonctions usuelles vues au secondaire 9 septembre 2010 I Fonctions ln et exp 1. Rappels sur ln La fonction ln est definie comme la primitive de x 7? 1x sur ]0,+∞[ qui s'annule en 1. Etude de ln Compte-tenu de la definition, on a les proprietes qui suivent : • ln : ]0,+∞[? R ; • ln est derivable sur ]0,+∞[. De plus (ln)?(x) = 1x pour tout x > 0 ; • ln 1 = 0 ; • Le tableau de variations de ln est le suivant : x 0 1 +∞ (ln)?(x) + 1 + lnx ?∞ * 0 * +∞ Remarque : Compte-tenu de l'etude de ln, on peut dire que ln realise une bijection de ]0,+∞[ vers R. la courbe representative de ln se trouve Fig.1. Equation fonctionnelle On peut montrer que ln verifie l'importante propriete suivante : ?x > 0, ?y > 0, ln(x y) = lnx + ln y. Ainsi ln transforme les produits en sommes. On derive de cette equation fonctionnelle les proprietes suivantes : ?x > 0, ln( 1 x ) = ? lnx ; ?x > 0, ?y > 0, ln( x y ) = lnx? ln y Quelques limites a connaıtre • Limite en 0+.
Voir
- rappels sur exp
- formules d'addition pour tan
- somme en produit
- cos2 ?
- formules de trigonometrie
- tan
- sin a?bc
1.
Rappels sur les fonctions usuelles vues au secondaire
Rappels surln
I
9septembre2010
Fonctionslnetexp
1 Lafonctionlnestd´efiniecommelaprimitivedex7→sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1. x
´ Etude deorrpelpso,anitnoivenuisu´esqi´etCnltpmo:td´laniefitee-denu •ln : ]0,+∞[→R; 01 •]e0subrlvari´etdesln,+∞[.De plus (ln) (xpour tout) = x >0 ; x •ln 1 = 0 ; •Le tableau de variations de ln est le suivant :
x+0 1 ∞ 0 (ln) (x1 +) + +∞ ✟✯ ✟ ✟ lnx0 ✟✯ ✟ ✟ −∞ Remarque :dCedmeo’ledute´-etpunetln,on peut dire quelnondeebijectiaeilesnu´r]0,+∞[versR. lacourberepr´esentativedelnsetrouveFig.1.
Equation fonctionnelle
Onpeutmontrerquelnv´erifiel’importanteproprie´te´suivante:
∀x >0,∀y >0,ln(x y) = lnx+ lny.
Ainsilntransformelesproduitsensommes.Onde´rivedecette´equationfonctionnellelesproprie´t´essuivantes: 1 ∀x >0,=ln( ) −lnx; x x ∀x >0,∀y >0,ln( ) = lnx−lny y
Quelqueslimites`a + •Limite en0.
connaˆıtre On a :
limxlnx= 0. + x→0
1
