PC DEVOIR MAISON N° Mercredi février Mercredi février Vidange d'un réservoir CCP PC Ecoulement d'eau sur une stalactite ext Centrale PC

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PC 2009-2010 DEVOIR MAISON N° 13 Mercredi 3 février ! Mercredi 10 février - Vidange d'un réservoir (CCP PC 2003) - Ecoulement d'eau sur une stalactite (ext. Centrale PC 2009)

volume de fluide

tube de vidange cylindrique, de longueur l2 et de section s2

réservoir

nd ghv nd

étanchéité

dv dv dt

expression du théorème de bernoulli en régime

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Réservoir Étanchéité

PCSI B

Math´ematiques

D e v o i rM a i s o n1 3

Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010

Inverses`adroiteetsurjectivite´.

` A rendre pour le mercredi 31 mars. Vousdevezapporterleplusgrandsoin`alare´dactioneta`lapertinencedesargumentsavance´s.Lesre´sultats doiventeˆtreencadre´s.

SoientEunK−espace vectoriel etfun endomorphisme deE.On dit quefnunievsr`edaortieadmets’il existeg,endomorphisme deE, tel que f◦g= IdE. Dans ce cas, on dit quefestteoielbirda`nisrevet on dit quegestitesr`edaornunievdef. Onseproposedecaracte´riserlesendomorphismesf´teetpuuidsrooniuseel`qadniveeqrutineduensaso´sp exemplesdetelsendomorphismespourdiﬀe´rentsespacesvectoriels. On rappelle que sifsi´eeugnndneoromsihpedemdE,alors

0 avec la convention quef= IdE.

i f=f◦ ∙ ∙ ∙ ◦f | {z } i fois

PartieI-Caract´erisationd’unendomorphismeinversiblea`droite

fse´dengihirpedsmenunmodouK−espace vectorielE. 1. Onsuppose quefioeta`rd.stineiblevers (a) Montrerquefest alors surjectif. (b) MontrerqueE= ker(f)⊕Im(g). ˜ (c)End´eduirequef ,la restriction def(Im`ag),est un isomorphisme de Im(g) surE.Quelle est la ˜ re´ciproquedef? 2. Onsuppose quefest surjectif et que ker(fpl´eme)natdmetunsupiaerFdansE. ˜ (a) Montrerquefla restriction defa`Fest un isomorphisme deFdansE. (b)End´eduirequefnitumeadetiorda`esrevngque l’on explicitera. 1 3. Conclurequefinesttseevnibisra`eloidrsiteseetemulfest surjective et ker(f´lppusnuriatnemeedmet)a dansE. i i 4. Montrerque sifetioesrerda`tumenvniadg,alorsfadmetgdaorti.enievsr`epour 5. Soientf1etf2des endomorphismes deE.Montrer que sif1etf2rsselbrda`etioola,reisitvnsnof1◦f2 estinversiblea`droite.

´ Partie2-Etuded’ope´rateursdiffe´rentiels

∞ IciEeneligesd´R−espace vectorielC(R,R). 1 Onpeutenfaitmontrerquetouts.e.v.admetunsuppl´ementaire.Nouslemontreronsdanslecasparticulierou`Eest de dimension ﬁnie.

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