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SESSION 1995 E.N.A.C. Ingénieurs FILIERE M COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. OPTION - I - R[X] étant l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, on désigne par E le sous-espace de R[X] ayant pour éléments les polynômes P tels que ∫1 0 P(x) dx = 0. On appelera D l'endomorphisme de R[X] associant à tout polynôme P sa dérivée P ?, et d la restriction de D à E. a) 1) Montrer que d est un isomorphisme de E sur R[X]. On désignera par ? l'isomorphisme réciproque : ? = d(?1). 2) Vérifier que pour tout élément Q de R[X], le polynôme P = ?(Q) est défini par : ?x ? R, P(x) = ∫x 0 Q(t) dt + ∫1 0 (t ? 1)Q(t) dt. b) On considère la suite (Bn)n?N dans R[X] définie par B0 = 1 et par la relation de récurrence : ?n ? N, Bn+1 = ?(Bn). 1) Expliciter B1 et B2. 2) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : Bn(0) = Bn(1).

espaces vectoriels de polynômes

égalité établie dans la question précédente

e? ?

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SESSION 1995

E.N.A.C. Ingénieurs

FILIERE M

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. OPTION

 I  R[X]étant l’espace vectoriel des polynômes à coeﬃcients réels, on désigne parEle sousespace deR[X]ayant pour éléments les polynômesPtels que Z 1 P(x)dx=0. 0 ′ On appeleraDl’endomorphisme deR[X]associant à tout polynômePsa dérivéeP, etdla restriction deDàE. (−1) a) 1)Montrer quedest un isomorphisme deEsurR[X]. On désignera parϕl’isomorphisme réciproque :ϕ=d. 2)Vériﬁer que pour tout élémentQdeR[X], le polynômeP=ϕ(Q)est déﬁni par : Z Z x 1 ∀x∈R, P(x) =Q(t)dt+ (t−1)Q(t)dt. 0 0 b)On considère la suite(Bn)n∈NdansR[X]déﬁnie parB0=1et par la relation de récurrence : ∀n∈N, Bn+1=ϕ(Bn).

1)ExpliciterB1etB2. 2)Vériﬁer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2, on a :Bn(0) =Bn(1). c)A tout entier natureln, on associe le polynômePndéﬁni par : n ∀x∈R, Pn(x) = (−1)Bn(1−x). ′ Pe 1)Pour tout entier natureln, exprimern+1n fonction dePn. 2)Montrer que pour toutndansNPn+1=ϕ(Pn). 3)En déduire l’expression deBn(1−x)en fonction deBn(x). d)Dans cette question,pest un entier naturel non nul. Pour toutndeNon pose : p−1  X x+j n−1 p Bn=Qn(x). p j=0 1)Montrer que :Qn+1=ϕ(Qn). ∗ 2)En déduire que l’on a pour tout entierpdansN: p−1  X x+j n−1 ∀x∈R, Bn(x) =p Bn. p j=0 e)A tout entierndeN, on associe le polynômeRndéﬁni par : Rn=Bn+1(x+1) −Bn+1(x). Z x 1)Démontrer que l’on a pour toutn:∀x∈R, Rn+1(x) =Rn(t)dt. 0 1

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