Devoir Surveillé n06 PSI

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pefav

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Devoir Surveillé n06 PSI MATHEMATIQUES (Samedi22Janvier2011) (durée:4 heures) Exercice l Pourtoutréelx > 1ettoutentiern2:0,onpose: 1. Montrerla convergencesimplesur]1,+oo[dela sériedefonctionsL j~L(X). on notedésormaisf sa fonctionsomme. 2. La convergencede la sériede fonctionsL fn(x) est-elleuniformesur ]1,+00[,sur [a,+oo[poura>17. 3. La convergencede la sériede fonctionsL fn(x) est-ellenormalesur]1,+00[,sur [a,+oo[pour a > 17. 4. Trouverunerelationsimpleentref(x), f(x +1),u(x). 5. f est-ellecontinuesur son intervallede définition7 6. Montrer que f admet, pour x tendantvers+00unecertainelimite à préciser. 7. a) l\lontrer que: \Ix > 1,f(3..:)2:u(x) - 'u(x+-1). b) En déduire lim f(:r).x->l+ 8. a)Etablir que +00 [ 1 1 ] +00 [ ln(1+~ ) ]f(x) =~ln(x+2n) - ln(x +2n+1) =~ln(x+2n)ln(~+~n2n+-1) b) En déduireque f estdécroissante.