Devoir Surveillé n PSI

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pefav

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01 septembre 2011

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196

Devoir Surveillé n?1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durée : 4 heures) Problème I On considère ici l'espace vectoriel réel E = M4(IR) muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel noté ?. On note, pour (x, y, z, t) ? IR4, diag(x, y, z, t) = ? ? ? ? x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0 t ? ? ? ? On note I = diag(1, 1, 1, 1). Soit A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 ?1 0 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? On note f l'endomrphisme de E dont A est la matrice dans la base canonique de IR4. 1. Démontrer que E est de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quel est le rang de A ? A est-elle semblable à J = diag(1, 1, 0, 0) ? 3.

b0 de ir4

dimension

devoir surveillé n?1

existence de matrices s1

hyperplan vectoriel

coefficients réels

?1 ?

matrice dans la base canonique de ir4

matrice inversible

dimen- sion de imtu

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Dimensión Matrice inversible

◦ Devoir SurveillÉn1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durÉe : 4 heures)

ProblÈme I On considÈre ici l’espace vectoriel rÉelE=M4(IR)muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel notÉ×. 4 On note, pour(x, y, z, t)∈IR,   x0 0 0 0y0 0  diag(x, y, z, t) =   0 0z0 0 0 0t On noteI=diag(1,1,1,1).   1 1 1√0− √ 2 2 1 1 √0−− √1 2 2 SoitA= 1 1 0− √−1− √ 2 2   1 1 − √−1− √0 2 2 4 On notefl’endomrphisme deEdontAest la matrice dans la base canonique deIR. 1. DÉmontrerqueEest de dimension ﬁnie : Donner une base et sa dimension. 2. Quelest le rang deA?Aest-elle semblable ÀJ=diag(1,1,0,0)? 3. MontrerqueE= ker(f+ 2IdE)⊕ker(f−2IdE)⊕kerf 4. MontrerqueAest semblable Àdiag(2,−2,0,0). 5. Montrerl’existence de trois endomorphismes deEtelle que : IdE=p1+p2+p3 ∀i∈ {1,2,3}, pi◦pi=pi 2 ∀(i, j)∈ {1,2,3}, i6=j=⇒pi◦pj= 0 f= 2p1−2p2 6. Etablirl’existence de trois matricesU, V, Wtelles que : Id=U+V+W 2 22 U=U;V=V;W=W U V=V U=U W=W U=V W=W V= 0

7. MontrerqueΨ :M7−→AM−M Aest un endomorphisme deE. 8. EndÉduire queC={M∈E/AM=M A}est un sous espace vectoriel deE.

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