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pefav

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Devoir Libre n014 PSI MATHEMATIQUES ( à rendreVendredi5Février2010) Problème 1 Première Partie On étudiedanscettepartielessommesdontl'existencen'estpasà prouver: 00 A =L (-lt-1 n=l n 00 (-lt+1 +00 1 B=L 3 etC=L3' n=l n n=l n +00 1 2 1.En utilisantqueL 2 =~, calculerA. n=l n 6 2...Déterminerunevaleurapprochéeà 10-3prèsdeB enjustifiantlecalcul. 3. n 3.a. On poseCn =L \ et Rn =C - Cn pour n E N*. k=l k 1 1 Montrer que: 2 ~Rn ~2 . (2n+1) 2n 3.b. En déduireque Cn + ~(~+ 1 2) est une valeur approchéede C à --L près.n (n+1) 2n3 DéterminerunevaleurdécimaleapprochéedeC à 10-3près. Deuxième partie Dans cettepartie, on s'intéresseà la suite (Wn)nENdéfiniepar Wn=n11 In(l +tn)dt { In(l +x) 1. Montrerquela fonction9 de] - 1,+00[ dansJR.définieparg(x)= x pourx f=0 est 1 pourx =0 bornéesurJR.+et donnersUPxE[o,+oo[lg(x)1. 2. Développer9 ensérieentièreenO.

n2 n2

convergencesimple de la sériede fonctionse

montrerquee estunir-espacev

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