Devoir Libre n013 PSI

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pefav

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Devoir Libre n013 PSI MATHEMATIQUES Vousavezlechoixentre: - Problème1: CCP: Pourle27Janvier: Partiesl etII etPourle3 février:PartiesIII etIV. - Problème2 : Centrale:Pour le 27Janvier: Partiesl . II A et II B et Pour le 3 février: PartiesII C et III. Problème 1 Notations. On désigneparIRl'ensembledesnombresréels,parN l'ensembledesnombresentiersnaturelset par N* l'ensembleN privédeO. Pour n entiernaturelnonnul,on noteMn(IR) (respectivementMn,I(IR)) l'espacevectorielréeldes matricescarréesà n lignes(respectivementl'espacevectorieldesmatricescolonnesà n lignes)à coefficientsréels. Onnotedet(A)ledéterminantd'unematricecarréeA ettB la transposéed'unematriceB quelconque. EtantdonnéeunematriceA, la notationA = (ai,j)signifiequeai,j estlecoefficientdela lignei et de la colonnej dela matriceA. LorsqueA =(a) estunematricedeMn,I(IR), on identifieA avecle réela. Pour toutentiernaturel,onnoten! la factorielleden, avecla conventiona!=1. Soientp etn deuxentiersnaturelstelsquep ::;k ::;n : - onnote[lp,nI] l'ensembledesentiersk telsquep ::;k ::;n. - onrappellela notation(n) = '(n~)p p. n p. Le produitscalairededeuxvecteursu etv d'unespacepréhilbertienseranoté(uJv). Objectifs. Dansceproblème,ondéfinitlamatricedeGramd'unefamillefiniedevecteursd'unespacepréhilbertien réel. La premièrepartieportesur descalculsde déterminants,la valeurd'un desdéterminantscalculés servantà illustrerla quatrièmepartie. Dansla deuxièmepartie,ondéfinitlesmatricesdeGrametonenétudiequelquespropriétés. Lestroisième t quatrièmepartiessontdesapplicationsdela deuxièmepartie.