Devoir Libre n PSI
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Devoir Libre n?13 PSI MATHEMATIQUES (a rendre le 29 janvier 2010) Calculatrices interdites. On rappelle que la fonction ? est definie pour tout reel z > 0 par ?(z) = ∫ +∞ 0 tz?1e?t dt Cette fonction possede les deux proprietes suivantes : - pour tout reel z > 0, ?(z + 1) = z?(z) ; - il est admis que ∫ 1 0 u??1(1? u)??1 du = ?(?)?(?) ?(? + ?) , pour tous reels ? > 0 et ? > 0. I. Fonctions hypergeometriques. 1. Soit z un reel strictement positif. Determiner des conditions necessaires et suffisantes sur les reels ? et ? pour que la fonction t 7? t??1(1 + t)??1e?zt soit integrable sur R?+. 2. Soit z un reel strictement positif. Determiner des conditions necessaires et suffisantes sur les reels ? et ? pour que la fonction t 7? (?t)??1(1 + t)??1e?zt soit integrable sur ]? 1, 0[. On fixe maintenant deux reels ? > 0 et ? > 0 et on definit les fonctions K(z) = ∫ +∞ 0 t?(1 + t)?e?zt dt I1(z) = ∫ +∞ 0 t??1(1 + t)?e?zt dt I2(z) = ∫ +∞ 0 t?(1 + t)??1e?zt dt
Voir
- solution du meme systeme
- solution generale du systeme differentiel
- meme equation
- equation differentielle
- relation de chasles
- determiner des conditions necessaires
- polynome de degre ?
- theoreme de convergence dominee
◦ Devoir Libren13 PSI MATHEMATIQUES (a`rendrele29janvier2010) Calculatrices interdites. OnrappellequelafonctionΓestde´finiepourtoutre´elz >0 par Z +∞ z−1−t Γ(z) =t edt 0 Cettefonctionposse`delesdeuxpropri´ete´ssuivantes: -pourtoutr´eelz >0, Γ(z+ 1) =zΓ(z) ; - ilest admis que Z 1 Γ(α)Γ(β) α−1β−1 u(1−u)du=, Γ(α+β) 0 pourtousr´eelsα >0 etβ >0. I.Fonctionshyperg´eom´etriques. 1. Soitzntsasuessereuffitsece´iassitidnsnolrsernuirtslee´mrnie´etcsnoreedentpctemif.Dosit r´eelsαetβpour que la fonction α−1β−1−zt t7→t(1 +t)e ∗ soitinte´grablesurR. + 2. Soitzssce´esntssereaisetnasffiuselruseimteifnrtipcotsteelrsmt.nDr´´eeedcusnireitnonoid r´eelsαetβpour que la fonction α−1β−1−zt t7→(−t) (1+t)e soitinte´grablesur]−1,0[. Onfixemaintenantdeuxr´eelsα >0 etβ >e´dnote0nsioctonsfleitfin Z +∞ α β−zt K(z) =t(1 +t)e dt 0 Z +∞ α−1β−zt I1(z) =t(1 +t)e dt 0 Z +∞ α β−1−zt I2(z) =t(1 +t)e dt 0 pourtoutre´elstrictementpositifz. ∗ ntcontinˆumentd´R 3. MontrerqueI1etI2surso erivables+et que 0 0 =−KetI= I1 2−K+I2(E) 4. MontrerquezK=αI1+βI2. I1(z) 5.End´eduirequelevecteurI(zolutests=)iaerusrllie´ein´eiffntre`tsydemednoisnu’ I2(z) ∗ R: + 0 I(z) =A(z)I(z) (S) o`uA(z) est une matrice que l’on explicitera. ∗ 6. MontrerqueKsatisfait surRiff´eiondquatne´ee´ialenieillertn’oelque2drord’re.areticilpxenu +
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