Devoir Libre n PSI
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Devoir Libre n?9 PSI MATHEMATIQUES (a rendre le 25 Novembre 2011) **** Exercice I **** On considre, dans l'espace vectoriel euclidien IR3, la suite (Zn)n = ? ? un vn wn ? ? dfinie par Z0 = ? ? u0 v0 w0 ? ? et pour tout n : ? ????? ????? un+1 = 1 3 un ? 1 6 wn ? 61 vn+1 = 1 3 un + 1 2 vn ? 1 3 wn + 61 wn+1 = 1 3 un + 1 3 vn ? 1 3 wn + 61 La norme euclidienne est note ??. 1. Montrer que la suite (Zn)n vrifie une relation matricielle de la forme Zn+1 = AZn +B. Prciser A et B. 2. Montrer que, pour tout vecteur X de IR3, on a ?AX? ≤ k?X?, o k ?]0, 1[. 3. En dduire que la suite (Zn)n est une suite de Cauchy de IR3. 4. Montrer qu'elle converge et calculer sa limite. **************************************************** Exercice II **** Notations Soit n et p des entiers superieurs ou egaux a
Voir
- vn ?
- nom de norme matricielle
- norme matricielle sur mn
- matrice nulle de mn
- devoir libre n?9
- deduire
◦ Devoir Libren9 PSI MATHEMATIQUES (`arendrele25Novembre2011)
**** Exercice I **** unu0 3 On considre, dans l’espace vectoriel euclidienIR, la suite (Zn)n=vndfinie parZ0=v0et wnw0 pour toutn: 1 1 un+1=un−wn−61 3 6 1 1 1 vn+1=un+vn−wn+ 61 3 2 3 1 1 1 wn+1=un+vn−wn+ 61 3 3 3 La norme euclidienne est notekk. 1. Montrer que la suite (Zn)nvrifie une relation matricielle de la formeZn+1=AZn+B. PrciserAetB. 3 2. Montrer que, pour tout vecteurXdeIR, on akAXk ≤kkXk, ok∈]0,1[. 3 3. En dduire que la suite (Zn)nest une suite de Cauchy deIR. 4. Montrer qu’elle converge et calculer sa limite. **************************************************** Exercice II **** Notations Soitnetprseu´eouuxga1.`adseneitresspue´irKne´dngisltnaroceculeleosrse´spedes,oplexscomuide noteMn,p(K) leK-ldieorctvecepaessea`ocffieseamrtcinscientsdaKayantnlignes etpcolonnes. Lorsque p=n,Mn,n(Kmelpmisstnest)eluept´noMn(Ker’dcuutbeerla`gtmunetesastrides),Inralr´epenesntta matriceidentit´e. 0n,pmatairecunlldeed´esignelMn,p(K) et 0nla matrice nulle deMn(K). GLn(Katridesmmbleenseen’lsegi)´dlbisedseisecrevnMn(K) etTn(Ks)enl’scarr´eemstairecesbmeled d’ordrenlairessutriangusea`e´´l´preeirunsenemdatsK. nm`ee Tout vecteurx= (xi)1≤i≤ndeKntifitideesnet´lmenue´e´a`XdeMn,1(Kelquel)taledtneme´le´’i ligne deXsoitxi.Danstoutelasuin,etnsuoretoisnoiffndre´eenmmtX= (xi)1≤i≤neentd´lmenue´Mn,1(K) n aussi bien que le vecteur deKuiqcaisssot.ie´leu peme` PourA= (ai,j)1≤i≤ndansMn,p(K) etX= (xi)1≤i≤pdansK, on note (AX)ile coefficient de lailigne 1≤j≤p deAX. Pour toute matriceAdeMn(K(), on note SpA) l’ensemble des valeurs propres complexes deAet on appelle rayon spectral deAele´relρ(Ad´)r:paniefi ρ(A) =max|λ|. λ∈Sp(A)
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