Devoir Libre n PSI
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Devoir Libre n?8 PSI MATHEMATIQUES (a rendre le 18 Novembre 2011) Notations. - Etant donne un endomorphisme l d'un espace vectoriel de dimension finie, on note det(l) son determinant, tr(l) sa trace et ?l son polynome caracteristique. En notant id l'endomorphisme identite, on definit l0 = id et, pour tout k dans N, lk+1 = l ? lk. - On note K[X] l'ensemble des polynomes a une indeterminee et a coefficients dans K = R ou C. Objectifs. Etant donne un vecteur non nul u et un endomorphisme l d'un espace vectoriel de dimension finie, on definit un entier r(l, u) a partir des iterees du vecteur par l'endomorphisme. Le probleme porte sur l'etude de proprietes de l'endomorphisme, liees a la valeur de l'entier r(l, u). Dans la premiere partie, on traite un exemple dans le cas relativement elementaire de l'espace vectoriel R2. Une premiere structure euclidienne permet d'obtenir les coordonnees des iterees d'un vecteur par l'endomorphisme ; une deuxieme structure euclidienne permet de montrer que des points du plan, deduits des vecteurs precedents, sont sur une ellipse. Dans la deuxieme partie, on fait etablir des resultats generaux sur les endomorphismes etudies. Les deux parties sont independantes l'une de l'autre.
Voir
- passe par les points a1
- coordonnees des iterees
- vecteurs vk par vk
- base orthonormale
- point dans le plan
- matrice matb
◦ Devoir Libren8 PSI MATHEMATIQUES (`arendrele18Novembre2011)
Notations. -Etantdonn´eunendomorphismeld’un espace vectoriel de dimension finie, on note det(l) son d´eterminant,tr(l) sa trace etχlnntoeuE.tsqie´irantoscamectraolnpˆoynidl’endomorphisme 0k+1k identite´,onde´finitl=idet, pour toutkdansN,l=l◦l. - OnnoteK[Xeicffieocasnadstnrmte´endt`ee´einopylˆnmosea`nuie]l’ensembledesK=RouC.
Objectifs. Etantdonn´eunvecteurnonnuluet un endomorphismeld’un espace vectoriel de dimension finie, onde´finitunentierr(l, ume.Lphisbl`eeprotrseemoprurdtiarap)`omor’endparlteurvuceeedse´´rseti l’e´tudedepropri´ete´sdel’endomorphisme,li´ees`alavaleurdel’entierr(l, u). Danslapremi`erepartie,ontraiteunexempledanslecasrelativemente´le´mentairedel’espacevectoriel 2 Rpruetcevraert´sideund’es´ebo’dinetepentemrnndoes´eesrlorcoime`erts.nUpeeruclidienructuree l’endomorphisme;unedeuxie`mestructureeuclidiennepermetdemontrerquedespointsduplan, d´eduitsdesvecteurspre´ce´dents,sontsuruneellipse. Dansladeuxi`emepartie,onfait´etablirdesre´sultatsg´en´erauxsurlesendomorphismes´etudi´es. Lesdeuxpartiessontind´ependantesl’unedel’autre.
Pemi`erepartie.
π Soitθe0elqueeltrer´nubmon< θ < πetθ6= . 2 2 I.1.aDn,iostueeqttcensse’lere`disnocnoapecevtcroeielculidienorient´eRmuni d’un produit ` ` scalaire notE (|). On notek.kla norme associEe. Soit une base orthonormaleε= (ε1, ε2) (c’est-‡-dire (ε1|ε2) = 0 etkε1k=kε2k= 1. Ond´efinitlesvecteursv1=ε1etv2= cos(θ)ε1+ sin(θ)ε2sabalere`disnocntoeeV= (v1, v2) 0−1 2 2 deR. Soitll’endomorphisme deRelrdtameeciretavimene`tlabasaV. 1 2cos(θ) 1.1.isert´aceedqutiylopelreracemoˆnD´eterminlsproleuroru´eelplreesse´udE.dnseavrile complexes del. 2 22 1.2.Soitv=x1v1+x2v2un vecteur quelconque deR. Montrer quekvk=kl(v)ke´udrieE.dn 2 22 22 ` que∀(v, w)∈R×R,(l(v), l(w)) = (v, w) (Ecrirekv+wk=kl(v+w)k=kl(v) +l(w)k).
1.3.pesaasegete´DlaerinrmedictrmaPde la baseε`alabaseVainsi que la matrice inverse −1 P. 0 0 On noteMla matrice de l’endomorphismelitalerselabant`avemeε. ExprimerMen fonction −10 des matriceP,PetM. Donner l’expression deMsire’lneraca´treihpromeotdcemsl. 1.4.Le vecteurv2fiieerv´l(v1) =v2. Pourk∈N,k≥3,efiniond´selttcevsruevkparvk= ∗ l(vk−1). Pourk∈N, on notevk=akv1+bkv2. 2 1.4.1En calculantkvkkuefx¸aocsnd,e´udedirededI.1.2 une relation entreak,bket cos(θ). ∗ 1.4.2Justifier que, pourk∈N, on a (v1|vk) = cos((k−1)θ)ude´dne;uedr(erilevalav2|vk).
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