Devoir Libre n PSI
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Devoir Libre n?1 PSI MATHEMATIQUES (à rendre le 6 septembre 2011) Exercice 1 : 1. Montrer que, si une suite (xn)n?IN est convergente, la suite (x2n?xn)n?IN converge vers 0. 2. On définit la suite (Sn)n?IN par : Sn = n∑ k=1 1 k (a) Montrer que ?n ? IN, S2n ? Sn ≥ 1 2 . (b) En déduire que (Sn)n?IN diverge vers +∞. 3. Montrer que : ?k ≥ 2, ∫ k+1 k 1 t dt ≤ 1 k ≤ ∫ k k?1 1 t dt 4. En déduire un encadrement de Sn pour tout n ≥ 1. 5. En déduire un équivalent de Sn. 6. On considère les suites (an)n?IN et (bn)n?IN définies par : ? ??? ??? an = n∑ k=1 1 k ? ln(n) bn = n∑ k=1 1 k ? ln(n+ 1) (a) En utilisant la concavité de la fonction ln, montrer que : ?x > ?1, ln(1 + x) ≤ x. (b) Montrer qu'elles sont adjacentes. (c) En déduire qu'il existe ? ? IR tel que : Sn = ln(n) + ? + o(1) (d) Justifier : ?n ≥ 1, bn ≤ ? ≤ an.
Voir
- question précédente avec la fonc- tion ?
- ir4
- ?n ≥
- ?1 ?
- classe c∞ sur r?
- tangente au point d'abscisse
◦ Devoir Libren1 PSI MATHEMATIQUES (À rendre le 6 septembre 2011)
Exercice 1: 1. Montrerque, si une suite(xn)n∈INest convergente, la suite(x2n−xn)n∈INconverge vers 0. n X 1 2. OndÉfinit la suite(Sn)n∈INpar :Sn= k k=1 1 (a) Montrerque∀n∈IN, S2n−Sn≥. 2 (b) EndÉduire que(Sn)n∈INdiverge vers+∞. Z Z k+1k 1 11 3. Montrerque :∀k≥2, dt≤ ≤dt t kt k k−1 4. EndÉduire un encadrement deSnpour toutn≥1. 5. EndÉduire un Équivalent deSn. 6. OnconsidÈre les suites(an)n∈INet(bn)n∈INdÉfinies par : n P1 an=−ln(n) k k=1 n P1 b=−ln(n+ 1) n k k=1 (a) Enutilisant la concavitÉ de la fonction ln, montrer que :∀x >−1, ln(1 +x)≤x. (b) Montrerqu’elles sont adjacentes. (c) EndÉduire qu’il existeγ∈IRtel que : Sn= ln(n) +γ+o(1) (d) Justifier:∀n≥1, bn≤γ≤an. (e) Ecrireune procÉdure Maple permettant de calculer une valeur approchÉe deγÀ une −3 prÉcisionadonnÉe. Donner une valeur approchÉe deγÀ10prÈs.
Exercice 2: 1. RÉsoudredansRl’Équation :t+ sint= 0. 2. Pourtout rÉelttel quet+ sint6= 0, on pose : 1 ψ(t) =. t+ sint 2x R ∗ Montrer que l’intÉgraleψ(t)dtest dÉfinie pour toutx∈R. x On noteraf(x)sa valeur. ∗ L’objet de ce problÈme est l’Étude de la fonctionfassociÉe, dÉfinie surR. 3.Question pour les 5/2: Soitx0>0. La fonctionψest-elle intÉgrable sur]0, x0]? 4. Etudierla paritÉ def. ∞ ∗0 5. Montrerquefest de classeCsurR, et calculerf(x)sous forme factorisÉe pourx >0. 6. EndÉduire le sens de variation defsur]0,+∞[.
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