Devoir Libre n PSI
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page 1 Devoir Libre n?18 PSI MATHEMATIQUES ( rendre le 26 Mars 2010) L'usage de calculatrices est interdit Partie 1 Question 1. On appelle ? la fonction de R dans R, paire et periodique de periode 2pi, definie par : ? ?? ?? ?x ? [ 0, pi 2 ] , ?(x) = pi2 4 ? x2 ?x ? [pi 2 , pi ] , ?(x) = ( x? pi 2 )( x? 3pi 2 ) 1.1. Tracer les graphes des fonctions ? et ?1, derivee de la fonction ?. 1.2. Determiner la serie de Fourier associee a la fonction ?1. Etudier sa convergence. Question 2. En deduire la serie de Fourier associee a la fonction ? et celle de ? definie par : ?x ? R,?(x) = ∫ x 0 ?(u) du. Etudier la convergence de ces series. La suite du probleme consiste a rechercher les fonctions U de classe C0 sur ? = [0, pi] ? R+ et C2 sur [0, pi]? R?+ et verifiant les conditions suivantes : (P ) ? ????? ????? ?(x, t) ? [0, pi]? R?+, ∂2U ∂x2 (x, t) = ∂U ∂t (x, t) (1) ?t ? R+, U(0, t) = U(pi,
Voir
- dite solution du probleme
- dk ∂rk
- definies sur ?
- serie de fourier associee
- solution du probleme
- devoir libre n?18
◦ Devoir Libren18 PSI MATHEMATIQUES ( rendre le 26 Mars 2010)
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L’usage de calculatrices est interdit Partie 1 Question 1. On appelleθla fonction deRdansRaprieeptedoi,2uedep´er´eriodiqπnfie´apeir:d, h i2 π π 2 ∀x∈0θ, ,(x) =−x 2 4 h i π π3π ∀x∈, θ, π(x) =x−x− 2 22 1.1.Tracer les graphes des fonctionsθetθ1viredee´faletcnoiond´,θ. 1.2.itcnofalnossraieur`aeei´ocnireal´sreeiedoFD´etermθ1. ´ Etudier sa convergence. Question 2. Ende´duirelase´riedeFourierassoci´ee`alafonctionθd´efiniepcelledeΦte:ra Z x ∀x∈R,Φ(x) =θ(u)du. 0 ´ Etudierlaconvergencedecess´eries. 0 Lasuiteduprobl`emeconsistea`rechercherlesfonctionsUde classeCsur Ω = [0, π]×R+et 2∗ Csur [0, π]×Ronsctidissonvauisetn:evte´irafitnel + 2 ∂ U∂U ∗ ∀(x, t)∈[0, π]×R,(x, t() =x, t) (1) + 2 ∂x ∂t ∀t∈R+, U(0, t) =U(π, t(2)) = 0 (P) ∀x∈[0, π],limU(x, t(3)) = 0 t→+∞ ∀x∈[0, π], U(x,0) = Φ(x) (4) Une fonctionUosulidetudrpitno,(3),(2))estet(4alererta)1(snoitifierv´questlanl`obeem (P). Lesparties2et3sontind´ependantes. Partie 2. Onseproposedechercherdessolutionsdel’e´quationdiff´erentielle(1)souslaformedefonctions V´dr:infiesuesparΩ ∀(x, t)∈Ω, V(x, t) =g(x).h(t) 2 2 o`ugsetlulneedfeoclnctionr´eesaesCsur [0, π] ethontieer´neuncfoessdellalceCsurR+.
