DEVOIR D'ANALYSE N˚

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pefav

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DEVOIR D'ANALYSE N˚ 2 A remettre dans la semaine du 16 au 20 avril Nombres de Stirling de deuxième espèce Dans l'espace vectoriel Rn[X] des polynômes de degré au plus n, on note f0(X) = 1 , f1(X) = X et, si 2 ≤ k ≤ n, fk(X) = X(X ? 1) · · · (X ? k + 1) . On obtient ainsi une base (f0, f1, · · · , fn) de Rn[X]. Il existe alors des nombres S(n, k) (nombres de Stirling de deuxième espèce) tels que, si 0 ≤ k ≤ n, Xn = n∑ k=0 S(n, k)fk(X) . 1) a) Pour tout n ≥ 0, calculer S(n, 0) et S(n, n). Pour tout n ≥ 1, calculer S(n, 1). b) Vérifier que, si k ≥ 0, on a l'égalité Xfk(X) = fk+1(X) + kfk(X) , et en déduire que, si n ≥ 1, et 1 ≤ k ≤ n S(n + 1, k) = kS(n, k) + S(n, k ? 1) .

solution de l'équation différentielle linéaire

n∑

série entière

indice de sommation

développement en série entière

changement d'indice de sommation dans la première somme

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DEVOIR D’ANALYSE N˚2

A remettre dans la semaine du 16 au 20 avril

Nombres de Stirling de deuxiÈme espÈce

Dans l’espace vectorielRn[X]des polynÔmes de degrÉ au plusn, on note f0(X) = 1, f1(X) =Xet, si2≤k≤n, fk(X) =X(X−1)∙ ∙ ∙(X−k+ 1). On obtient ainsi une base(f0, f1,∙ ∙ ∙, fn)deRn[X]. Il existe alors des nombresS(n, k)(nombres de Stirling de deuxiÈme espÈce) tels que, si0≤k≤n, n X n X=S(n, k)fk(X). k=0 1) a) Pour toutn≥0, calculerS(n,0)etS(n, n). Pour toutn≥1, calculerS(n,1).

b) VÉriﬁer que, sik≥0, on a l’ÉgalitÉXfk(X) =fk+1(X) +kfk(X), et en dÉduire que, si n≥1, et1≤k≤n S(n+ 1, k) =kS(n, k) +S(n, k−1).

n−1n c) Soit, sin≥1, la propriÉtÉ(Hn)suivante : « si0≤k≤n, on a0≤S(n, k)≤2k» . Montrer par rÉcurrence que, pour toutn≥1, la propriÉtÉ(Hn)est vraie. ∞ X S(n, p) n 2) Sip≥1, on considÈre la sÉrie entiÈrehp(x) =x . n! n=p a) Montrer que la sÉrie converge pour toutxrÉel. Que vauth1(x)? Que vauthp(0)?

b) Montrer que, sip≥1, la fonctionhp+1est la solution de l’Équation diﬀÉrentielle linÉaire 0 y−(p+ 1)y=hp,vÉriﬁant la condition initialey(0) = 0. En dÉduire par rÉcurrence, en rÉsolvant l’Équation diﬀÉrentielle prÉcÉdente, que, sip≥1, on a pour toutxrÉel 1 x p hp(x) =(e−1). p! x p c) En dÉveloppant(e−1)par la formule du binÔme, et en utilisant le dÉveloppement en sÉrie entiÈre de l’exponentielle, montrer que, sin≥1et1≤p≤n, p  X 1p p−k n S(n, p) =(−1)k . p!k k=1 n p En dÉduire que lorsquentend vers l’inﬁni,pÉtant ﬁxÉ, on aS(n, p)∼. p! ∞ X n 3) Sip≥1, on considÈre la sÉrie entiÈreSp(x) =S(n, p)x . n=p a) Quel est le rayon de convergenceRp? Que vautde cette sÉrieS1(x) ?

b) Montrer que sip≥2, et|x|<1/pon a la relation En dÉduire la valeur deSp(x).

pxSp(x) +xSp−1(x) =Sp(x).

c) En eﬀectuant le produit des sÉries de1/(1−x)et1/(1−2x)trouverS(n,2).

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