DEVOIR D'ANALYSE N˚
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DEVOIR D'ANALYSE N˚ 1 A remettre dans la semaine du 5 au 10 mars Exercice Soit n ? N?, et soit fn la fonction definie sur [ 0, ∞ [ par fn(x) = (1 + x n)1/n . Etudier la convergence uniforme sur [ 0, ∞ [ de la suite (fn)n≥1. Probleme Soit n ? N?, et soit fn la fonction definie sur [ 0, +∞ [ par fn(x) = { ( 1? xn )n si x ? [ 0, n ] 0 si x ≥ n . 1) Montrer que fn est continue sur [ 0, ∞ [ , et que fn est derivable sur [ 0, ∞ [ si n ≥ 2. 2) Trouver la limite simple f sur [ 0, +∞ [ de la suite (fn)n≥1. 3) Pour x ≥ 0, on pose h(x) = xe?x. Montrer que la fonction h est bornee sur [ 0, +∞ [ et calculer ||h ||∞. 4) Pour x ? [ 0, n [ on pose gn(x) = x + (n? 1) ln ( 1? x n ) . a) En etudiant les variations de gn, montrer qu'il existe un nombre ?n et un seul dans ] 0, n [ tel que gn(?n) = 0, et que ?n > 1.
Voir
- limite e?x
- premiere methode
- formule de taylor-lagrange
- e?x dx
- theoreme d'intervertion des limites
- theoreme d'encadrement
- devoir d'analyse n˚
- application continue
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DEVOIR D’ANALYSE N˚1
A remettre dans la semaine du 5 au 10 mars
Exercice ∗ Soitn∈N, et soitfn0r[lafoidnnotceiuse´nfi,∞[ par n1/n fn(x) = (1 +x). Etudier la convergence uniforme sur[ 0,∞[ dela suite (fn)n≥1. Probl`eme ∗ Soitn∈N, et soitfncnitalof[0esurefiniond´,+∞[ par n x 1−six∈[ 0, n] n fn(x) =. 0 six≥n 1) Montrer quefn[ 0est continue sur,∞[ ,et quefne´iravlbseru0[estd,∞[ sin≥2. 2) Trouver la limite simplef0sur [,+∞[ dela suite (fn)n≥1. −x 3) Pourx≥0, on poseh(x) =xe. Montrer que la fonctionhsebtro´neesur[0,+∞[ et calculer||h||∞. 4) Pourx∈[ 0, n[ onpose x gn(x) =x+ (n−11) ln−. n a)En´etudiantlesvariationsdegn, montrer qu’il existe un nombreαnet un seul dans] 0, n[ tel quegn(αn) = 0, et queαn>1. 0 0 b)Ende´duirelesignedef−fsur [0, n] . n h(αn) c) Montrer quef(αn)−fn(αn) =. n 5) Montrer que||f−fn||∞= (f−fn)(αnriqeeualetdne´ud,e)suite(fneme´tninuemrof)converg versfsur [0,+∞[ . a R 6) Soita >suituelaerpiuqeceqede`ce´.D0edirdu´efn(x)dxconverge et donner sa limite. 0 7) En vous inspirant d’un calcul fait en cours, montrer que si|x|<lra´eeng´meeretdeire´sal,1 n n (−1)x /nconverge et que ∞ X k x k (−1) =−ln(1 +x). k k=1 8)Ende´duireque ∞ k X 2 1−k gn(2) =, n k(k+ 1) k=2 puis que 1< αn<2.
