Cours Mathématiques - Série ES/S : Les suites

Nº : 32001

Plan de la fiche

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

I -Définir une suite
II -Comportement global d’une suite
III -Comportement asymptotique d’une suite
IV -Opérations et limites
V -Théorèmes de comparaison
VI -Comportement asymptotique des suites monotones
n
VII -Comportement asymptotique de(q )
n
VIII -Suites adjacentes
IX -Suites arithmétiques
X -Suites géométriques
XI -Le principe de récurrence

I - Définir une suite

Série S

Une fonctionu quià tout entier naturel supérieur à un entiern associeun réel est une suite numérique définie à partir du
0
rangn.
0
• La suiteuest également notée(n)n≥n0 (un)nu simplement(un).
u, o
est le premier terme de la suite(u).
• Le réelu n n≥n0
n
0
• Lorsquendésigne un entier fixé mais non précisé,unest le terme de rangnde la suite.
• Lorsquendésigne la variable,uest le terme général de la suite.
n

Exemples :
(2 n3)n≥0 –3quatrième terme est, le3(terme de rang 3).
a) Le terme de rang0de−est
11
b) Le troisième terme de est .
n
 n≥13
2 p2 p2 p
 
c) Le premier terme deest ,celui de est0.
3 n3 3n
 n≥1 p≥0

Suite définie par récurrence :

Soitf unefonction numérique définie sur un intervalleI telquef(I)une partie de estIet soit a un élément de ,ILes deux .
instructions :
aest le premier termeupde la suiteu
=pour toutn ≥ p
u+1f(un)
n

suffisent à définir la suiteu.

Exemple :

u=2v=0

00
etdéfinissent deux suites différentes.

∀ ≥= +∀n≥0, v=3 v+
n 0,un+13 un5n+1 n5


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MATHEMATIQUES

II - Comportement global d’une suite

Série S

Une suite(u)est :
n n≥n
0
≤
•croissantelorsqueunun+1pour toutnsupérieur àn;
0
•décroissantelorsqueun≥un+1pour toutnsupérieur àn;
0
•monotonelorsqu’elle est croissante ou décroissante ;
•stationnairelorsqueun=un+1pour toutnsupérieur àn;
0
•strictement croissantelorsque<pour tout;supérieur à
unun+1n n0
•strictementsque
décroissantelorun>un+1pour toutnsupérieur àn0;
•strictement monotonelorsqu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Méthode :« Etudier la monotonie d’une suite numérique »,fiche exercices n°1 « Les suites ».

Une suite(u)n nest :
n≥
0
•majorées’il existe un réelMtel queu≤Mpour toutnsupérieur àn;
n0
•minorées’il existe un réelmtel queu≥mpour toutnsupérieur àn;
n 0
•bornéesi elle est minorée et majorée.

Exemples :
1
a)3− est minorée par2et majorée par3est bornée., donc
n
 n≥1
n
b)(1)2 nn≥0est minorée par1mais n’est pas majorée.
− +

III - Comportement asymptotique d’une suite

(un)nour limite un réelasia
•Une suitea pcontient tous les termes de laet seulement si tout intervalle ouvert contenant
suite à partir d’un certain rang.
=ou=.
On note :lim u=aoulim unaalim u
n
n→ + ∞
•Une suite(un)na pour limit
e+ ∞(resp.− ∞)si et seulement si tout intervalle du type]A,+ ∞[(resp.]− ∞, A[) contient
tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On=oulim u= +∞oulim u∞= +(resp.lim u= −∞).
notelim un+ ∞n n
n→ + ∞
n→ + ∞
•Une suite est convergentelorsqu’elle a pour limite un réel.
•Une suite est divergentelorsqu’elle n’est pas convergente.

Exemples :
 1 
a)1+ est convergente.
 n
n≥0
n
)(1 n)ne−1sont divergente
b+t( )ns.

IV - Opérations et limites

aetbdésignent des réels.

Somme
• Si=alorslim(u+v)=a+b.
lim un=aetlim vnbn n
• Silim unaetlim vnalorslim(unvn)+ ∞.
= =+ ∞+ =

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MATHEMATIQUES

• Silim u=aetlim v∞= −alorslim(unvn)∞= −.
+
n n
• Silim u= +∞etlim v= +∞alorslim(un+vn)∞= +.
n n
• Silim u= −∞etlim v∞= −alorslim(u+v)= −∞.
n
n nn
Produit
• Silim u=aet limlim v=balorsvlim u=ab.
nnn n
• Silim u=a>0etlim v∞= +alorsvlim u∞= +.
n nn n
• Silim u=a<0etlim v∞= +alorslim uv= −∞.
n nn n
• Silim u=a>0etlim v∞= −alorsvlim u= −∞.
n nn n
• Silim u=a<0etlim v∞= −alorsvlim u∞= +.
n nn n
• Silim u=a∞> +etlim v∞= +alorsvlim u= +∞.
n nn n
• Silim u=a∞> +etlim v= −∞alorslim uv= −∞.
n nn n
• Silim u=a∞> −etlim v∞= −alorslim uv= +∞.
n nn n
Inverse
1 1
S alorslim=.
ilim un=aeta≠0
u a
n
1
Si ets
lim un=0 iu>0à partir d’un certain rang alorslim= +∞.
n
u
n
1
Si=et sià partir d’un certain ra
lim un0 un<0 ngalorslim= −∞.
u
n
1
=
Silim un+ ∞oulim u∞= −alorslim=0.
n
u
n

Série S

Il est essentiel de garder à l’esprit que ces théorèmes sont des conditions suffisantes.Les cas non envisagés sont
« des formes indéterminées » et demandent à être étudiés spécifiquement.

Méthode :« Etudier le comportement asymptotique d’une suite »,fiche exercices n°1 « Les suites ».

V - Théorèmes de comparaison

Siu≤và partir d’un certain rang et silim u= +∞alorslim v= +∞.
n nn n

Siu≥và partir d’un certain rang et silim u= −∞alorslim v∞= −.
n nn n
Siu≤v≤w àpartir d’un certain rang et si(un) et(vn)vers le même réel convergenta alorslim v=a (théorèmedes
n nn n
gendarmes).

Siaest un réel tel quev−a≤uà partir d’un certain rang et silim u=0alorslim v=a.
n nn n
≤(v)≤
Siunvnà partir d’un certain rang et si(un)etnconvergent respectivement versaetbalorsa b.

Exemples :
n
n
a)(−1)+n≥n−1pour tout n etlim(n−1)= +∞entraînentlim(−1)+n∞= +.
1 sinn 11sin n
b)3− ≤3+ ≤3+pour toutn≥0etlim=0entraînentlim3=+ 3.
n n nnn

VI - Comportement asymptotique des suites monotones

Suites monotones bornées: toutetoute suite décroissante et non minoréesuite croissante et non majorée a pour limite +∞ ;
a pour limite− ∞.

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Série S

Théorème de la convergence monotonetoute suite décroissante etsuite croissante et majorée est convergente ;: toute
minorée est convergente.

n
VII - Comportement asymptotique de(q )
n

La lettreqdésignant un réel non nul et différent de1:

n
• siq > 1alorslim q= +∞;
n
• si|q| < 1alorslim q=0;
• siq≤ −1alors(q)n’a pas de limite.
n
n

VIII - Suites adjacentes

Définition
Deux suites sont dites adjacentes lorsque l’une est croissante,l’autre est décroissante et leur différence converge vers zéro.

Théorème des suites adjacentes
Si deux suites(u)et(v)sont adjacentes alors elles convergent et ont la même limite.
n nn n
p