Cours Mathématiques - Série ES: Importance de la fonction dérivée

Il est parfois commode (par exemple pour simplifier des calculs numériques ou chercher des limites autrement plus difficiles) de
donner àf(x)une expression affine (du typea x + b), donc plusCela ne peut se faire qu’au voisinage d’unsimple (mais approchée).
réel donnéa,fétant dérivable ena8).(cf. figure

Série ES

Nº : 22004

Exemple :
2
Prenonsf(x)=xqu’en; nous avons vux = 3l’équation de la tangente esty = 6 x – 9( cf. Fiche Corrigés 3) ; ainsi l’approximation
2 2
affine def(x)=x, au voisinage dex = 3, est6 x – 9effet, pour, par exemple. Enx = 3,07, on ax=9,4249, et6 x – 9 = 9,4200…
mais pourx = 3,8l’approximation n’est déjà plus très légitime !

II - Approximation affine d’une fonction au voisinage d’un réel a

Plan de la fiche

MATHEMATIQUES

Fiche Cours

1

Fig. 8 Approximation affine def(x) au voisinage de a.

I -Tangente à une courbe
II - Approximation affine d’une fonction au voisinage d’un réel a
III -Théorème fondamental (sur les variations d’une fonction)
IV - Dérivée d’ordre supérieur à 1,dérivée seconde

Cf. FicheCours 3.

Fiche 4 : Importance de la fonction dérivée

On admet quecette approximation affine n’est autre que l’équation de la tangente(T)enA (a ;f(a)).
A

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I - Tangente à une courbe

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Fiche Cours

MATHEMATIQUES

III - Théorème fondamental (sur les variations d’une fonction)

Série ES

 RÈGLE
fétant une fonction dérivable surD,si , sur une partieDdeDa, onf’(x) > 0alorsfest strictement croissante sur
1
Dune parie; si, surDdeD, onaf’(x) < 0alorsfest strictement décroissante surD. Si enfinf’(x)s’annule ena,
12 2
a∈D, enayant changé de signe (de part et d’autre dea), alors lenombref(x)atteint un « extremum » (maximum ou
minimum) égal àf(a).

Soit, schématiquement :
D D
1 2
.... ....
x
a
f ’(x) ......+ 0 –
f(a)
f...(x) ...

► ÀSAVOIR
En se rappelant que le nombre dérivéf’(x)n’est autre que le coefficient de la tangente à la courbe defau pointM (x ;f(x)),
x∈D, lethéorème ci-dessus devient intuitivement évident : le signe def’(x)renseigne directement sur l’allure de la
tangente en tout point de la courbe et,par suite,sur la courbe elle même donc,finalement, surles variations def.

IV - Dérivée d’ordre supérieur à 1, dérivée seconde

f’dérivée « d’ordre, la1» (on dit aussi « première ») defpeut à son tour être dérivable, ce qui donnef’’dérivée d’ordre, la2(ou
( 4)
« seconde »),etc. .Au-delàde l’ordre3plus de simplicité,, et pourcet ordre est noté entre parenthèses :f=f’’’’.

Quelques utilisations de la dérivée seconde en terminale ES :

• Il peut arriver qu’il ne soit pas aisé d’étudier le signe de la dérivée premièref’, alorson passe àf’’…

Exemple :
1 131
4 3 2
3 22
Soitfle polynôme défini par :f(x) =x−x−x+5 x−7. Alorsf’x(x) =−x−3 x+5etf’’(x) =x−2 x−3. On
12 3 23
peut facilement étudier le signe def’’(x)du second degré,Fiche Cours 5) ;d’où :(cf. trinôme

x– ∞– 13+ ∞
f ’0 – 0 +(x) +
+ ∞
26
3
f ’(x)
– ∞– 4

Les variations def’montrent, conséquemment, lesigne def’(x).
En effet,on y voit que f’(x)trois fois sur s’annuleIRen :α,α > – 1, enβ,– 1 < β < 3, et enγ,γ >3 (cf.théorème des valeurs
intermédiaires, FicheCours 7) ;ainsi :

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Nº : 22004

x

– ∞

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

α

β

Série ES

γ

f ’0 + 0(x) ––0 +

d’où les variations def:

x

– ∞
+ ∞

α

β
f(β)

γ

+ ∞

+∞
+∞

f(x)
f(α)f(γ)

La méthode employée ci-dessus,faisant appel àf’’en analyse de terminale… et figure régulièrement, est assez fréquemment utilisée
dans maints de sujets du bac !
• Inflexion d’une croissance, d’une décroissance :

Figs. 9 et 10 Points d’inflexion

Observons ce qui se passe autour du pointIde la courbe(C)d’une fonctionf9 et 10 :, figuresles coefficients directeurs des tangentes
cessent de diminuer pour augmenter après (figure 9), ou le contraire (figure 10); sachant que ces coefficients directeurs sont les
valeurs prises par le nombref’(x)elles existent,on a donc (tableaux de variations des figures 9 et 10 ci-dessous) :, quand

x

f ’(x)

f ’(x)

–

i

0

+

x

f ’(x)

f ’(x)

+

i

0

–

Autrement dit :enI (i ;f(i)), ladérivée seconde s’annule en changeant de signe.
Is’appelle « point d’inflexion » de la courbe(C)peut ainsi dire pour, par exemple, le cas de la figure 9, à droite de; onila croissance
def« faiblit » pour devenir plus « vive » à droite dei. Unpoint d’inflexion renseigne donc sur le changement de rythme d’un
processus croissant ou décroissant.

En cinématique (étude du mouvement d’un corps),sifest la positionXdu corps,en fonction du tempst,X =f(t),f’est la vitesse
Vde ce corps,toujours en fonction det,V =f’(t);f’’est l’accélérationA,A =f’’(t) = V’(t)point d’inflexion sur la courbe de; unX
signifiera alors que le mouvement du mobile voit sa vitesse augmenter (ou diminuer).

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