Corrigé de l'épreuve de mathématiques spécialité BAC L
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Français
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2014
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BACCALAURÉAT
Séries :
ES/L
Épreuve :Mathématiques
(obligatoire)
Session 2014
Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 5
PROPOSITION DE CORRIGÉ
1
Exercice 1(5 points)
1)
2)
3)
4)
5)
B=0 ,7
D'après l'arbre ci-contre :pA.
( )
Donc réponse :c).
p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=.0 , 26
( )
Donc réponse :c).
Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12 ,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]
3
Sur 0 ;+∞: ln(x)+ln(x+3)=3 ln 2⇔ lnx×x+3=ln 2 ⇔
] [( )(( ))( )
2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 .
( )( )
Donc réponsed).
56
6
L'aire, en unités d'aire est égale à∫dx=5 lnx2=65 ln −5ln 2 .
[( )]( ) ( )
2
x
Donc réponse :a).
Exercice 2(5 points)
1)
2)
3)
20
u=u−u+50=1250.
1 0 0
100
20 20
u=u−u+50=u1− +50=0
+1n n n, 8un+50.
( )
n
100 100
a)v=u−250=0 ,8u+50−250=0 , 8u−200=0 , 8(u−250)=0 , 8v.
n+1n+1n nn n
Par suite,(v)est une suite géométrique de raisonq=0 , 8 et de premier terme
n
v=u−250=1500−250=1250 .
0 0
n nn
b) Par formule,vn=v0q=1250×0 ,8. Par suite,un=vn+250=250+1250×0 ,8.
4
c)u4=250+1250×0 , 8=762 . Donc la surface de terrain engazonné au bout de 4
2
années est de762m.
2
Comme 0 ,8<décroissante.1 , la
suite(vn)est
n<500
6)
DoncClaude a raison, la surface de terrain engazonné ne pourra être inférieure à
2
250m.
Exercice 3(5 points)
u
limn=250.
n→+∞
3
4)
ln(0 , 2)
nln 0 ,8<2ln 0, ⇔ n>(avecln 0 , 8<0).
( ) ( )( )
ln 0 ,8
( )
b)
60−30 30 3
p X>30=p(X∈[30 ; 60])== = .
( )
60−20 40 4
2)
1)
Partie A
60+20 80
E X= = =40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2
ln(0, 2)
Avec≈7 , 2126 , on obtientn=8comme plus petite valeur dentelle que
0
ln 0 ,8
( )
Interprétation: au bout de 8 années, la surface de terrain engazonné sera inférieure à
2
500m.
n n
De plus,−1<0 ,8<1,, 8lim 0 =0donclim 1250×0 ,8=0et par suite
( ) ( )
n→+∞n→+∞
0,8u+50
n
n+1
n
250+1250×0, 8<500 .
n nn250
a)250+1250×0, 8<500 ⇔ 1250×0, 8<500−250 ⇔ 0 ,8< ⇔
1250
Partie B
1)
2)
3)
p=p(D<57)=0, 5
Comme 57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :1.
(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)
p=p(56 , 75<D<57 , 25)≈0 ,977 d'après la calculatrice.
2
p=1−p≈.0 , 023
3 2
Partie C
1)
2)
66
f= =.0 , 825
80
1 1
Par formule :I=f−;f+ =[0 , 713; 0, 937].
[ ]
√n√n
Exercice 4
Partie A
1)
2)
Par lecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.
Par lecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.
Partie B
1)
−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
( ) ( )( )(( ))
' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2
−0 , 5x−0 ,5x
=e 1−0 , 5x−1=−0, 5xe.
( )
D'où le tableau de variations def:
x
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe de e
où
Signe def '
Variations def
−0 ,5×0
0=2 e=2×1=2et
( )
0
2
−
+
−
15
f(15)
−0 ,5×15−3
15=17 e≈9 , 4×10.
( )
fest donc strictement décroissante sur 0 ; 15 .
[ ]
4
5
admet bien une unique solution sur 0 ; 15 .
[ ]
f(0)=2>0 ,1etf15≈0 , 009<0 , 1 . Donc d'après la propriété des valeurs
( )
D'après les résultats affichés,
◦puisf9 , 4≈0 , 104>0 , 1 etf9 ,5≈0 , 099<donc0 ,1 α∈9 , 4 ; 9 , 5[.
( ) ( )]
signe def ' ' x
( )
−0 , 5x
signe de e
Ainsifest concave sur 0 ; 2 (f ' '<0 ) et convexe sur2 ; 15(f ' '>0 ).
[ ][ ]
3)
+
+
+
4)
+
−
x
signe de
0 , 25x−0 , 5
0
−
0
2
0
Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe de'f ' :
La baisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie
au bout de 2 heures.
f ' '(x)change de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.
1)
Partie C
2)
intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf x=0 ,1
( )
2)
D'après la calculatrice :
◦f9≈0 , 12>0 , 1 etf10≈0 , 08<0 , 1doncα∈.9 ; 10
( )( )] [
actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.
Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.
D'après la partie B,fα =0 , 1avecα∈donc le médicament n'est plus9 , 4 ; 9 , 5
[ ]
( )
Sur l'intervalle 0 ; 15 , la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]
15
−0, 5x
' ' x=0 , 25x−e0 , 5 .
( ) ( )
