Corrigé bac S 2014 Pondichéry maths obligatoire

CORRIGE DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES
DU BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE

PONDICHERY 2014
EXERCICE 1:
! !!"1) ! !≤ 2 = 0,15⇔ !! !"= 0,15
!
!!!" ⇔ −! = 0,15
!
!!! ⇔ ! = 1−0,15
!" !,!"
⇔ !=− ≈ 0,081
!
! !!,!"#!2) a) ! !≥ 3 = 1−! !≤ 3 = 1− 0,081! !"
!
!!,!"#! ! !!,!"#×! = 1− −! = 1+! −1= 0,78 !
b) Pour !> 0 et ℎ> 0, démontrons qu’il s’agit d’une loi sans vieillissement :
! !!!!! ∩ !!! ! !!!!! !!! !!!!!
! !≥ !+ℎ = = = !!! ! !!! ! !!! !!! !!!
!!!!!" !! !!! !!" !!!!!!! !! ! ! !! !!! !!" !!"= = = = ! =1− −! = 1− !! !"= 1−! !≤ ℎ = ! !≥ ℎ ! !!" !!"!!" ! !! !!!!!
!
c) ! !≥ 5 =! !≥ 3+2 = ! !≥ 2 = 1−! !≤ 2 = 1−0,15= 0,85 !!! !!!
!)!)
! !
d) !" = = = 12,34
! !,!"#
!"# !"#$
3) On cherche à savoir au seuil de décision de 5% si la proportion ! de moteurs défectueux dans la
population est != ! =1% ou pas à partir de l’échantillon de taille 800. !
!
Vérifions les hypothèses : ! = 800≥ 30 puis !×! = 800× = 8≥ 5 ! !""
! !!
et enfin, !× 1−! = 800× 1− = 800× = 8×99≥ 5 ! !"" !""
! ! ! !
!! !!! !"" !"" ! !"" !""
L’intervalle est donc : != −1,96× ; +1,96× = 0,003;0,016
!"" !"" !"" !""
!"
Or , != = 0,018∉ ! donc on rejette et le résultat remet en question l’annonce de l’entreprise A .
!""

EXERCICE 2:
! ! ! ! !
1) Prenons ! = 1− pour !≥ 2. D’une part, ! −! = 1− − 1− = 1− −1+ ! !!! !! !!! ! !!! !
!!!!!! ! ! ! !
= = > 0 donc ! croît, et d’autre part, !≥ 2⇒ ≤ ⇔ 1− ≥ 0 soit ! ≥ 0. ! !! !!! ! !!! ! ! !
Les hypothèses sont donc vérifiées et pourtant, lim ! = 1, donc l’assertion est FAUSSE !→! !
!! !!!
2) Soit ! ∈ ;∞ , ! ! = 2!⇔ 2! ln 2!+1 −1 = 0⇔ != 0 ou !=
! !
Les deux solutions sont dans l’ensemble de définition, donc il n’y a pas une unique solution. FAUX
!! !!3) ! dérivable sur ;∞ et ! ! = 2ln 2!+1 +2!× donc le nombre dérivé en 2 se calcule
! !!!!
!! !en prenant l’image de 2 par ! : ! 2 = 2!"2+ = 1+ !"4. Donc VRAI
!
2 1
4) ! 3 et ! 1 On calcule ! .! = 2×1+3×1−1×5= 0⇔!⊥ℛ donc VRAI ! ℛ ! ℛ
−1 5

EXERCICE 3: Non spécialité
!!! ! !" !" ! ! !
1) ! = + = = = =
! ! !" !" ! !
!/! ! !/! ! ! !
!"#$= = et !"#$= = donc on déduit != 2! c’est-à-dire != +2!",! ∈ℤ
!/! ! !/! ! ! !
!"!
!d’où != !
!
! ! ! ! !
2) a) ! = ! = + ! ! = + ! ! = ! . !!! !!! ! ! !! ! ! ! !
!
! est donc une suite géométrique de premier terme 1 et de raison ! !
! !
! !
b) Du coup, ∀!∈ℕ, ! = 1× = ! ! !
!
! !
c) ∀!∈ℕ, !! = ! −0 = ! = et comme < 1 alors !"#! = 0 ! ! ! !! !
ère3) != 0,5 et != 1 on a donc !>! ; la 1 boucle peut se faire.
! ! !
ème! prend alors la valeur 1 et ! la valeur ×1= . Puis, != ≈ 0,86> 0,5 la 2 boucle peut se faire.
! ! !
! ! ! ème! prend alors la valeur 1+1=2 et ! la valeur × = . Puis, != 0,75> 0,5 la 3 boucle peut se faire.
! ! !
! ! ! ! ème! prend alors la valeur 2+1=3 et ! la valeur × = . Puis, != 0,64> 0,5 la 4 boucle peut se faire.
! ! !
! ! ! !
ème! prend alors la valeur 3+1=4 et ! la valeur × = . Puis, !≈ 0,56> 0,5 la 5 boucle peut se faire.
! ! !"
! !
! prend alors la valeur 4+1=5 et ! la valeur × ≈ 0,48. Mais ici !< 0,5
! !"
donc l’algorithme renvoie la dernière valeur de ! soit 5 .
b) L’algorithme renvoie le rang à partir duquel les valeurs de la suite sont inférieures à !
! ! ! !
! !! ! ! !! ! !! !! !! !! ! ! !! !!! !4) a) ! !,! ! = arg = arg = arg × !!! !!! ! ! ! ! !!!! !!!! !!! ! ! ! ! !! ! ! ! !
! !
! ! !! !! !! !! !!!! ! ! !! ! ! !! != arg = arg = arg × = arg = arg ! = [2!] soit +2!",! ∈ℤ
! ! !!!! ! !!!! ! !!!! ! !" ! ! !! ! !! !
Donc le triangle est rectangle en ! !!!
!
b) ! ∈ !ℝ⇔ !,!! = +!!,! ∈ ℤ . ! ! !
! !"
⇔ arg ! −! = arg ! = +!!,! ∈ ℤ. Or arg ! = ! ! !! !
!" ! ! ! !
donc on conclut: ! ∈ !ℝ ⇔ = +!!⇔ != × + !!= 3+6!,! ∈ℤ ! ! ! ! ! !

EXERCICE 4 :
PARTIE A :
1) La situation 3 ne peut pas correspondre car ! décroît et croît, donc !′ devrait être négative et
!positive. Or, sur le graphique, la courbe de ! est toujours au-dessus de l’axe des abscisses donc
!! ≥ 0 ce qui est absurde.
!Pour la situation 2, on a ! qui s’annule en −1 en changeant de signe donc ! devrait admettre un
extremum en −1, (en l’occurrence un minimum) ce qui n’est pas le cas sur le graphique. Donc il
!s’agit de la situation 1. On pourrait aussi remarquer que ! est représentée par une droite non parallèle à l’axe des ordonnées donc que !′ est affine. Donc, ! devrait être de degré 2 et par
conséquent représentée par une parabole. Mais ceci est exclu puisque la courbe n’admet pas d’axe
de symétrie. Il s’agit donc de la situation 1 .
2) L’équation de la tangente en 0 est, compte tenu des données de l’énoncé ;
!!= ! 0 !−0 +! 0 = 1×!+2= !+2 donc != !+2
3) a) On sait que ! 0 = 2⇔ 1+!= 2⇔ != 1
! !! !b) Comme ! est dérivable, on a ! ! =−! +! et comme ! 0 = 1 on conclut :
!! 0 = 1⇔−1+!= 1⇔ != 2
! !!4) Variations de ! sur ℝ : ! ! = 0⇔=−! +2= 0⇔ !=−!"2
! −∞ −!"2 +∞
!! ! − 0 +
! 3− !"4

!!5) lim ! = 0 et lim 2!+1=+∞ donc lim !=+∞ !→! !→! !→!

PARTIE B :
! ! !!1) a) ! est dérivable sur ℝ et ! ! = ! ! −1=−! +1.
! !! !! ∗! ! ≥ 0⇔−! +1≥ 0⇔ ! ≤ 1⇔−!≤ !"1 (car log croît sur ℝ ) !
⇔ !≥ 0
Donc ! décroît sur ℝ et croît sur ℝ et comme ! 0 = 0 ! !
alors ∀ ! ∈ℝ, ! ! ≥ 0=! 0 ⟺ !"# ! = 0 ℝ
b) Comme ! ! ≥ 0⇔ ! ! ≥ !+2 alors on peut dire que ! toujours au−dessus de ∆
!! !! !! !!!!2) Il suffit de calculer, (! ! − !+2 )!" = ! !"+ !"!− 1!"
!! !! !! !!
!"#é!"#$é
!!!!! ! ! !! ! !! != −! + − ! =−! +! +0− 2− −2 = −! +! −4 !! !!! !!



VincentR.
Professeurdemathématiques