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Correction du DL n˚ 15 CCP math I PSI 2003 PARTIE I Question I.1 L'application t 7? µ(t) cos t est continue sur R donc par le théorème fondamental de l'intégration, G est de classe C1 sur R, avec G?(x) = µ(x) cosx. De même pour H, avec H ?(x) = µ(x) sinx. On en déduit F ?(x) = sinx µ(x) cosx + cosx ∫ x 0 µ(t) cos t dt + sinx ∫ x 0 µ(t) sin t dt? cosx µ(x) sin(x) = cosx ∫ x 0 µ(t) cos t dt + sinx ∫ x 0 µ(t) sin t dt. D'où F (0) = 0 et F ?(0) = 0. Question I.2 G et H étant de classe C1 sur R , on en déduit que F ? est de classe C1 sur R et donc que F est de classe C2 sur R . De plus, F ??(x) = ? sinxG(x) + cos2 x µ(x) + cosxH(x) + sin2(x)µ(x) = ?F (x) + µ(x).

série géométrique de raison ?

interversion série

problème de cauchy linéaire

théorème de convergence normale

p2 ?

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Correction du DL n˚15 CCP math I PSI 2003

PARTIE I Question I.1L’applicationt7→µ(t) costest continue surRdoncpar le thÉorÈme fondamental 10 0 de l’intÉgration,Gest de classeCsurR,avecG(x) =µ(x) cosx.De mme pourH,avecH(x) = µ(x) sinx.On en dÉduit Z Z x x 0 F(x) = sinx µ(x) cosx+ cosx µ(t) costdt+ sinx µ(t) sintdt−cosx µ(x) sin(x) 0 0 Z Z x x = cosx µ(t) costdt+ sinx µ(t) sintdt. 0 0 0 D’oÙF(0) = 0etF(0) = 0. Question I.2 101 GetHÉtant de classeCsurR, on en dÉduit queFest de classeCsurRet donc queFest de 2 classeCsurR. De plus, 002 2 F(x) =−sinxG(x) + cosx µ(x) + cosxH(x() + sinx)µ(x) =−F(x) +µ(x). Donc 00 F(x) +F(x) =µ(x). Question I.3 FvÉriﬁe le problÈme de Cauchy linÉaire 00 0 y+y=µ, y(0) = 0, y(0) = 0, etd’aprÈs le thÉorÈme de Cauchy Lipschitz linÉaire, il y a unicitÉ de la solution de ce problÈme doncF=ϕ. R R x x Remarque : l’ÉgalitÉϕ(x) = sinx µ(t) costdt−cosx µ(t) sintdts’obtient aussi en appliquant 0 0 la mÉthode de variation des constantes pour rÉsoudre(Eµ). Question I.4 0 0 I.4.1En dÉrivant :G(x+2π)−G(x) =µ(x+2π) cos(x+2π)−µ(x) cosx= 0carµest2π−pÉriodique. 0 0 De mmeH(x+ 2π)−H(x) = 0. I.4.2Par I.4.1, La fonctionx7→G(x+ 2π)−G(x)est constante, Égale À sa valeur enx= 2π,soit : G(x+ 2π)−G(x) =G(2π). De mme,H(x+ 2π)−H(x) =H(2π). I.4.3∀x∈R ϕ(x+ 2π)−ϕ(x) =F(x+π)−F(x) = (G(x+ 2π)−G(x)) sinx−(H(x+ 2π)−H(x)) cosx =G(2π) sinx−H(2π) cosx. I.4.4La famille(cos,sin)Étant libre,Fest2π-pÉriodique si et seulement siG(2π) =H(2π) = 0. R R 2π2π 2 2π2 I.4.5Avecµ= sinon aG(2π) =sintcostdt= 1/2[sint] =0etH(2πsin) =tdt= 0 00 R 2π 1−cos 2t dt=π6= 0donc par I.4.4,ϕsinn’est pas2π-pÉriodique. Mme conclusion pourϕcos 0 2 car alorsG(2π) =π6= 0.

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