Travaux pratiques (TP) de Mathématiques de niveau BTS

TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS1GO 2009-2010
Exercice 1
f est paire

 
Soit la fonctionfcomme suit :de vers définie f(t) 1 sint pour0t

f est périodique de période

1- Représenter graphiquementfsur l'intervalle [2; 2].
Le plan sera muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse, 5 cm en ordonnée).
2-Etudier les variations de la fonctionf.
Exercice 2
f est paire et periodique de période

Un signal est modélisé par la fonctionfdéfinie sur par :
f(t)tsintt pour 0;/ 2
 

1. Étudier les variations defsur l'intervalle [0 ;/2].
2. Soit C1la partie de la représentation graphique defsur l'intervalle [0 ;/2], relativement à un repère
orthonormal du plan (unité graphique 2 cm).
Tracer les tangentes à C1aux points d'abscisses 0 et/ 2 . Tracer C1.
3. Dans le même repère tracer la représentation graphique C defsur l'intervalle[ ;]
Exercice 3
2 2
 
Soit la fonction numériquefdéfinie sur parf(t)1costsint
1. a . Montrer quefest paire et périodique de période2

b .Démontrer que la droite d’équation:test un axe de symétrie pour
2
la courbe (C ) sur0 ;.
2
3
 
2. Montrer quef'(t)4 sintcost: (. Rappels uv'u'vv'u etw'2w'w
3. Etudier le signe def'(t)sur l’intervalle0 ;et donner le tableau de
variations defsur0 ;
/ 3
5 1 1
4. Montrer quef(t) cos 2tcos 4t, puis calculerf(t)dt

/ 6
8 2 8
Exercice 4
121
Soit la fonction numériquefdéfinie sur parf(t)sintsin 3t
 
3
1. Montrer quefest impaire et périodique de période2

2. Démontrer que la droite d’équationxest un axe de symétrie
2
24
3. Montrer quef'(t)cos 2tcost. Rappels :

pq pq
(cospcosqcos2 cos )
   
2 2
4. Etudier le signe def'(t)sur l’intervalle0;et
donner le tableau de variations defsur0;.
5. Représenter graphiquement la courbe de la fonctionf
dans un repère orthonormal ( unité 2 cm ) sur l’intervalle;
/ 3
6. Calculerf(t)dt.

/ 6
Exercice 5
2 4cos 2t1
3) Soit la fonction g définie sur par :g(t)1  cos 4t
 
 3 15
a- Démontrer que g est paire. Démontrer que g est périodique et admet pour période.
b- On étudie g sur l'intervalle [0 ;/2].

84
Calculerg'(t)et démontrer que l'on a :g'(t) sin 2t1cos 2t
35
En déduire le sens de variation degsur [0 ;/2].
c- Sur le graphique de la question 1), dessiner la courbe représentative de g sur [0 ;/2].
On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 et/2.
Exercice 6
3 42
On considère la fonctionpar :définie sur (t) costcost
 
2 2
42
1° Montrer que.est paire et périodique de période 4
4 3
2'(t)pour tout réelt°t e rivéerfialqu erceulaC ) :'(t)sintcost
   
4 4
b) En déduire le sens de variation desur [0 ; 2].
3° Construire dans un plan rapporté à un repère orthonormal, les courbes représentatives defet de
pour t appartenant à [2 ; 2]. (Unité graphique : 4 cm).
Exercice 7 les questions sont indépendantes
1. On considère le signal défini par la fonctionf périodique , définie sur [0;] par :f(t)tt.
a) Étudier les variations de la fonctionfsur l'intervalle [0 ;].
Construire la courbe représentative de la fonctionf, restreinte à l'intervalle [0 ;].
Démontrer quefest une fonction paire
b) Construire la courbe représentative de la fonctionf, restreinte à l'intervalle [3; 3].
2 - On considère un signal modélisé par la fonctionupardéfinie sur u(t)sint.
a) que la fonuticiate re.s neotM pon rqueert-périodi
b) Tracer, dans un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonctionu, pour t [ , 2]
(unité graphique : 2 cm).
f(t)1cost pour t]0 ;[
3. Soit la fonctionfdans , de la variable de t, telle que :
f est périodique de période2

Représenter graphiquementf sur [ ; 2].
2
4. Soitfla fonction2-périodique définie parf(t)tsur[;].
 
Tracer dans un repère orthogonalO;i;june ébauche du graphe defsur l'intervalle3;3
 
5. On considère la fonction définie sur , paire,-périodique telle quef(t)tsit0 ;
 
22
 
Tracer la représentation graphique defsur;
 
6. Soit la fonction numériquef, paire, périodique de période 1 telle que :définie sur
   
f(t2) 1/ si0t

 où est un nombre réel tel que0 2.Uniquement dans cette question,on
f(t) sit1/ 2


1
prendra. Représenter la fonctionfsur l'intervalle [-1; 1] dans un repère orthonormal.
6
périodeimpaire et de f est 2

7-Soit la fonction numériquefde la variable réelle t telle que :
f(t)1cos 2t si0t


Etudier lesfsur [0 ;πamronoht l rund'i ore èrepu nadsnm nulpna]. er, Tracnoits viaar(O;i;j)unité de
graphique1 cm) courbe représentativ,eladefsur [2π ; 2π].
Exercice 8
f(t)tt si [0;]

Soit le signalf, dit « triangle»définie sur , paire, de période2, telle que :.
f(t)2 t si t[; 2]

1° ) R deopnrénsée entne ar ndnaenxs el el ar efopènrcetion fsur l’intervalle[4; 4],
2 ° ) On considère la fonctionfdéfinie sur parf(t) 2 costcos(2t).
a. Profes paire, de péurvioertqu2nee.fEon déduire un axe de s ymétriede nc

'( ) 2 sin 
b. Calculerf'(t)et vérifier quef tt12 cost.
c .fDress[0 ;]er le tableau. usr l’i n
d. Compléter dans le même repère donné en annexe la courbe de la fonctionfsur l’intervalle[2; 2].

Exercice 9

1°) Résoudre l’équationcos(t)0, puis l’inéquationcos(t)0sur[0 ; 2].
44
On considère la fonctionfpardéfinie sur g(t)2sintcostpour tout réelt[0 ; 2].
2
2g'(t)et vérifier queg'(t)°)Calcuolsert. En déduire les variations degsur2[0 ; ].
 
2 4
 
       
u2ku2k
Rappel :cosucos k¢ ;sinusin  k
 ¢

u  2ku    2k


cos(ab)cosacosbsin