Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale
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Avec correction. Ccentresetranger
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale S
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Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale S
Terminale S Centres étrangers Exercice 1: ; On considère une droite D munie d’un repère. (O i! Soit (An) la suite de points de la droite D ainsi définie : |A0est le point O; |A1est le point d’abscisse 1 ; |pour tout entier natureln, le pointAn+2est le milieu du segment [AnAn+1]. 1. a. Placementsur un dessin de la droite D, des pointsA0,A1,A2,A3,A4,A5etA6:
Juin 2011
b. Pourtout entier natureln, on noteanl’abscisse du pointAn; Calcul de : a#a1#0 1 1 0 a1 11 2; 2 22 a#a3 2 1 a1 1 3; 2 4 a#a5 3 2 a1 1 4; 2 8 a#a11 4 3 a1 1 52 16 a#a21 5 4 a1 1 6. 2 32 a#a n#1n a1 c. Pourtout entier natureln,n#2: 2 a#a n#1n PuisqueAn+2est le milieu du segment [AnAn+1],n#2! a1 2 1 a1 %a#1 2. Pourtout entiern,n#1n: 2 1 a1 %a#1 Effectuons un raisonnement par récurrence ; Appelons Pnla propriété : «n#1n» ; 2 1 1 ·%a#1´1 %0#1111a Initialisation:0 1donc P0est vraie (1) 2 2 1 ·a1 %a#1 Hérédité: Supposons que, pour un entierndonné, Pnsoit vraie, à savoir :n#1n; 2 1a%1a#a n#1n#1n a1 %a#1Ûa1 1%2(a%1!a1 Orn#1nn n#1etn#2(cf. 1.c.), 2 12 % 2 a# %2(a%1! n#1(n#1!%a#2 1 n#1 a1 11 %a#1 D’oùn#2n#1; 2 22 Ainsi la propriété Pn+1est vraie (si Pnl’est) (2)
·Î Finalement, de (1) et (2), la propriété Pnest vraie quelque soitnCQFD ! ; Patrick CHATE1
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2 v1a% 3. Soit(vn) la suite définie, pour tout entier natureln, parn n; 3 1 (vn) est une suite géométrique de raison: % 2 211 12 121 n#1n#1nnnn; v1a% 1%a#1%% 1a# 1%a% 1v% 323 23 232 1 % (vn) est donc bien une suite géométrique de raison; CQFD ! 2 4. Lalimite : 1 er ·% de la suite (vn) :(vn) étant une suite géométrique de raison, et de 1terme 2 n 2 22n n21 0 0,n0 0 ; v1a% 10% 1%v1v q1v q%1 % 3 33 32 n 11 %100 %1 lim% 10 limv10 Et comme, , et par conséquent,n. 22 n|#¥n|#¥ 2 22 ·v1a% Ûa1v#limv10 limv1 de la suite (an) :n nn n; Et comme,n,n3 33 n|#¥n|#¥ Interprétation: Les pointsAnse rapproche du point L(2/3). Exercice 2: Question 1 On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, les points A, B et C d’affixes (O;u,v! 13 respectives :, et .a11#ib13ic13# #i#2 22 Affirmation :Le triangle ABC est un triangle équilatéral. Méthode 1 : ·AB1z%z1b%a13i%(1i#!11%2#i15 B A; 1313 ·BC1z%z13# #i#2%3i13# #i%1 C B 2222 2 2 13 13 ; 13%# #113#3# # %3#115 242 4 1313 ·CA1z%z1(1#i!%3# #i#21 %3i# %1% A C 2222 2 2 133 1 ; 1 %3# %1%% 13#3# #3#115 22 4 4 Ainsi, AB = BC = CA donc ABC est équilatéral. Méthode 2 : 131313 # ## %#3% #i#1(%1%2i! 3i2(1i!3%#i#1 22 2222 z%z c%a c A ·11 11 z%z b%a3i(%1i#!1%2i#5 B A
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133 1 %3% #2#1#i%2 3#% %1 35 5 2 2 22p %i % i 1 3 2 23 ; 1%1 1i1e 525 2 p p z%z %i%i c A 3 3 1eÛz%z1e(z%z!ÛC1r(B! Orc AB Apdoncc ABC est équilatéral. A;% z%z B A 3 VRAI ! Question 2, la transformationOn considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal directf (O;u,v! 2i '1z dont une écriture complexe est : . 3#i p Affirmation :La transformationfest la rotation de centre O et d’angle. 3 pp p % (2i!3i!iii i 2i2#2 3i1 32 3 33 1 11 #i1e'1zÛz'1e zÛz'%z1e(z%z! On ad’où O O; 3#i2 24 43#i p La transformationfest donc bien la rotation de centre O et d’angle 3 VRAI !Question 3 2011 a1 %3#i On considère le nombre complexe( !. Affirmation :Le nombre complexeaest un nombre imaginaire pur. 2011 5p 5p5p i2011´ i2011i 3 15p5p6 20116 6 %3#i12% #i12 cos#sini12e a1 %3#i12e12e On a : d’où( ! 2 26 6 5p p5 5p p i335p#ip# i(335´6#1!´ %i 6 2011 6 2011 20116 20116 12e12e12e12eÏiℝ FAUX !Question 4 l l SoitXest un nombre strictement positif., oùune variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre On rappelle que, pour tout réeltstrictement positif, la probabilité de l’événement (X≤t) s’exprime par : %lt P(X£t!11%e . %l 1%e Affirmation :Sachant queX≥ 2, la probabilité queX.appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à £ £ dz P((2X3! (X2!!P(2£X£3!P(X£3!%P(2£X! P(2£X£3 /X³2!1 11 P(X³2!P(X³2!1%P(X02! %3l2%l 1%e%1e% %2l3%l l3% ( !( ! e%e el % . 1 111% 11%e %2l%2l%2l 1%(1%e!e e VRAI !Question 5 Une urne contient au totalnboules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation :La plus petite valeur de l’entiern, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13. 5 Il s’agit d’un schéma de Bernoulli de paramètresn= 10 et p = p(B) =; n
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5 Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès lors des 10 tirages ; X suit la loi binomiale ; B10; n SoitEl’événement : "’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages"; Alors estl’événement :"’obtenir aucune boule noire sur les 10 tirages" , soit encore : "’obtenir que des boules E blanches sur les 10 tirages" donc= "X = 10" ; E 10 10 5 5 On a :( ! d’oùP E1( !1 ; P E1( !1 %P E1 % n n 10 1010 5 5 5 P(E!³0, 9999Û1% ³0, 9999Û0, 0001³ Ûln 0, 0001³ln Donc n n n ln croissante ln 0,0001 5ln 0, 000155 10 Ûln 0, 0001³10 lnÛ ³lnÛe³ n10nn nexp croissante "x20,"nÎℕ,lnx1nlnx ln 0,0001 % n1 10 Û ³Ûn³5e»12, 56Ûn³13 ( !ln 0,0001 5 10 e VRAI ! Exercice 3 : La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH d’arête 1.
On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit M un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l’exercice, on se place dans le repère orthonormal(AB AD AE!. A; , , 1. a. Coordonnéesdes points C, E, I et J : Il vient immédiatement : C(1 ;1 ;0), E(0 ;0 ;1), I(1 ;1/2 ;0) et J(1/2 ;1 ;0). b. Existenced’un réeltappartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point M soient (1 − t; 1 −t;t) : MÎ[CE]Û ÎCM1tCE ilexiste un réelt[0 ; 1] tel que
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x%11t(0%1!x11t% M M Û Îy%11t(0%1!Ûy11t% il existe un réelt; 1] tel que [0MM; CQFD ! %01t(1%0!z1t MM 2. a. Lespoints C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ] : Le plan médiateur du segment [IJ] est l’ensemble des points équidistants de I et J ; Or : 2 2 2121 112 21 1 ·CI1(1%1!# %1#(0%0!1 1CJ1 %1#(1%1!#(0%0!1 1 et , 24 224 2 2 2 2129 312 29 3 ·EI1(1%0!# %0#(0 1%!1 1EJ1 %0#(1%0!#(0%1!1 1 et ; 24 224 2 Donc C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ] ; CQFD ! b. Letriangle MIJ est un triangle isocèle en M : Puisque C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ] , le segment [CE] aussi donc le point M aussi d’où MI = MJ ; MIJ est donc bien isocèle de sommet principal M. 2 c. IMen fonction det: 2 2 212 21 1 2 2 2 ( ! . IM1(1%t!%1#(1t%!%(t#0%! (1t!% #t%t#3t1t% 2 24 3. Lebut de cette question est de déterminer la position du point M sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l’angleest maximale. IMJ On désigne parla mesure en radian de l’angle qIMJ q qÎpqsin a. Pour[ 0 ;], la mesureest maximale lorsque est maximal : On a : 2 qp 0 q p 202 q 1 sin 2 0 q qÎpqsin Donc , pour[ 0 ;], estmaximale lorsque est maximal, et réciproquement. 2 q b. Lamesure estmaximale lorsque la longueur IM est minimale : q qÎpqsin Ainsi, pour[ 0 ;], estmaximale lorsque est maximal ; 2 IJ qIJ1 2 Or, IMJ étant isocèle, ; sin´1 1 2IM2IM q1IJ Donc est maximale lorsqueest maximale (carest constant) donc quand la longueur sin 2IM2 1 x֏ IM est minimale (cardécroissante sur ]0 ; +[) ;CQFD ! x 1 2 f(t!13t%t# c. Lesvariations de la fonctionf:définie sur l’intervalle [0 ; 1] par 4 1 '(t!16t%1f'(t!20Û6t%120Ût2 et ; 6 Patrick CHATE5 TerminaleS
0 f’(t) 0 f(t)
1/6 1 0+ 1
IMJ d. Ilexiste une unique position M0du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angle soit maximale : 22 x֏x IM est minimale lorsque IMest minimal (carcroissante sur [0 ; +[) ; 2 21 1 Or quiest minimal quand; IM13t%t# 1f(t!t1 Î[0;1] 4 6
Donc, au final, Il existe une unique position M0du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de 1 l’angle soitmaximale, le point M0correspondant à. IMJ t1 6 e. Lepoint M0est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC] :
Î(IM!^(EC! M0 [EC]; il ne reste donc plus qu’à vérifier que0; 1 1 1 M0(5/6 ; 5/6 ; 1/6) (d’après 1.b.) d’où0 et ; IM%; ;CE(%1;%1;1! 6 3 6 11 1 IM.CE1 %´(%1!# ´(1%!#1´01 ÛIM^CE(IM!^(EC! Donc0 0 0; CQFD ! 63 6
Exercice 4 : 1%2 1% (x!1xe(x!1x e Soientfetgdes nombres réels par :et .les fonctions définies sur l’ensemble Les courbes représentatives des fonctionsfetgdans un repère orthogonal( !sont respectivement notées C O;i,j et C’ ; leur tracé est donné ci-dessous : Patrick CHATE6 TerminaleS
