Sujet Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale S
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Préparation ds 5
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S
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Terminale S
Exercice 1 – Probabilités conditionnelles et suites
DS n°5 – Mercredi 7 Mars
Exercice 2 – QCM
2011 – 2012
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs Pour chaque question, une seule réponse est correcte. cibles. Une réponse juste apporte 1 point, une réponse fausse en retire 0,25. 1 La probabilité que la première soit atteinte est de. 2 1.1 1 L'équationlnx=a pour solution:a)e 3 2 2 Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est. 4 b) e Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est c)2 1 . 2.∀x1, ln1−x1a) x < 1équivaut à: 2 b) x < 1 – e On note, pour tout entier naturelnnon nul: c) x > e Al'évènement: « lan-ième cible est atteinte ». n 3.x1 lnx Al'évènement: « lan-ième cible n'est pas atteinte ». n Sifx=alors une primitivea)fx= ala probabilité de l'évènementA.xlnx1 n n de ƒ sur ]0;∞b)[ est définie par:Fx=xelnx bla probabilité de l'évènementA. n n x c)Fx=ln x1 1. Donneraetb. Calculeraetb. On pourra utiliser un arbre 1122 pondéré. 4. Onconsidère la fonction ƒ définie para) La dérivée s'annule pourx=1et 3 13−2xx=3 2. Montrerque, pour toutn∈ℕ, n1: a=abpuis quefx= lnx n1n n b) Sur [0;2], ƒ est croissante. 4 22−x 1 1c) La fonction ƒ est croissante sur[ a=an. n1 4 24∞ ;[. 3. Soitula suite définie pour tout entier naturelnnon nul par: n 2 5. L'équationa) A deux solutions u=a− n n 3 lnx−2 lnx−4ln 2=0b) N'a qu'une seule solution (a) Montrer que la suiteuest une suite géométrique dont on précisera nc) A une solution négative la raison et le premier terme.
(b) En déduire l'expression deuen fonction den, puis l'expression de n aen fonction den. n
(c) Déterminer la limite de la suitea. n
(d) Déterminer le plus petit entier naturelntel quea0,6665. n
T.Pautrel - DSn°5 – Mercredi 7 Mars 2012- TerminaleS
Terminale S
DS n°5 – Mercredi 7 Mars
2011 – 2012
Exercice 3 – Équations diophantiennes (spécialité)Exercice 3 – Intégrale et suite (non spécialité) 2 1. Onconsidère l'équationE:11x−7y=5, oùx ; y∈ℤ. (a) Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiersSoitnun entier naturel non nul. n relatifsvu ;tels que11u−7v=1. Trouver un tel couple. On posefla fonction définie sur[0;∞[ par:fx=ln1xet on n n 1 n n∫ (b) En déduire une solution particulière de l'équation (E).poseI=ln1xd xnoteCnde ƒ dans unla tative . Oncourbe représen 0 . repère orthonormal; i, j O (c) Résoudre (E). limfx 1 1. (a)Déterminer . (d) D ans le plan rapporté à un repère orthonorméjO ; i ,, onx ∞ considère la droite (D) d'équation cartésienne11x−7y=5. On note C fsur l'ensemble des pointsMx ; ydu plan tels que0≤x≤50et (b)Étudier les variations de1[0;∞[. 0≤y≤50. s, calculerIet Déterminer le nombre de points de la droite (D) appartenant à l'ensemble(c) A l'aide d'une intégration par partie1interpréter C et dont les coordonnées sont des nombres entiers.graphiquement le résultat. x1 (Indication:pourx∈[0;1],=1−) 2 2. Onconsidère l'équationF:11x²−7y²=5, oùx ; y∈ℤ.x1x1 Montrer que pour tout entier naon a:0≤n 2. (a) Démontrer que si le couplex ; y2. (a)est solution de (F), alorsturelnnon nul,In≤l x²≡2y²[5]. (b) Étudier les variations de la suiteI. n (b) Soientxetydes entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants: (c) En déduire que la suiteIest convergente. n x≡...[5]0 1 2 3 4 3. Soitg la fonction définie sur [0;∞[ pargx=lnx−x. x²≡...[5] (a) Étudier le sens de variations de g sur[0;∞[.
y≡...[5]0 2y²≡...[5]
1
2
3
4
(c) Endéduire que si le couplex ; yest solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.
3. Démontrerque sixetysont des multiples de 5, alors le couplex ; y n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F)?
(b) En déduire le signe deg(x)sur [0;∞[. Montrer alors que pour n n tout entier naturelnnon nul et pour tout x positif, on aln1xx.
(c) En déduire la limite de la suiteI. n
T.Pautrel - DSn°5 – Mercredi 7 Mars 2012- TerminaleS
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Exercice 4 – Analyse et intégration Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.
Partie I – ROC et étude de la fonction
DS n°5 – Mercredi 7 Mars
1. RestitutionOrganisée des Connaissances: Pré-requis: exp ' = exp v°u'=u '×v '°u la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;∞[ et pour tout x de cet intervalle, on aexplnx=x. 1 Montrer quelnx'=. x
2. Soitƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur]0;∞ [ par: lnx fx= x² Sa courbe représentative C, construite dans un repère orthonormal, et son tableau Partie II – Intégration de variations sont donnés ci-dessous. x lnt ∫ Soit g la fonction définie sur ]0;∞[ par:gx=dt. La tableau de variations de ƒ donne des propriétés sur les variations de la t² 1 fonction, les limites aux bornes de l'ensemble de définition ainsi que son 1. (a)Que représente ƒ pour la fonction g? extremum. Énoncer puis démontrer ces propriétés. (b) En déduire le sens de variations de g sur ]0;∞[.
2011 – 2012
1 2. Interprétergéométriquement les réelsg3etg . 2 lnx1 3. (a)A l'aide d'une intégration par parties, montrer quegx=1− x (b) Déterminer la limite de g en∞.
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