Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - PGCD et PPCM

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Avec correction. Arithmétique - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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306 Exercicesfaisant intervenir pgcd et ppcm et les algorithmes associés Exercice 0 Soit H un groupe, x et y deux éléments dans H d’ordres finis m et n tels que xy=yx. 1) Montrerque si m et n sont premiers entre eux alors xy est d’ordre mn. 2) Montrerqu’il existe un élément c dans H d’ordre ppcm(m,n). 3) Endéduire que tout sous groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique [DESCHAMPS-WARUSFEL T2 p 42 exo 5] Commentaires Les groupes cycliques sont particulièrement agréables car on dispose alors des résultats d’arithmétique. Si les deux premières questions de cet exercice ont leur place dans l’étude des groupes, la troisième doit attendre l’étude des anneaux. Elle établit un résultat théorique général fondé à la fois sur la théorie des groupes et celle des anneaux. A ce titre, on peut envisager de placer cet exercice dans une évaluation sur les structures algébriques. En cas de difficulté à la question 2, on pourra proposer l’indication : construire m’ et n’ tels que ppcm(m,n)=m’n’ et pgcd(m’,n’)=1 qui permet d’utiliser la question précédente. En outre, on utilise également qu’un corps est en particulier un anneau intègre dans lequel les polynômes de degré n ont au plus n racines.

Exercice 3 : les gaf d'ordre sans facteur carré sont cycliques [D-W T2 p 42 exo 5 et GRAS 4.9.1] Pré requis: notion de groupe cyclique, de groupe quotient, caractérisation de la puissance des générateurs d'un sous groupe. Travail de l'élève: mettre en œuvre l'idée "pour montrer qu'un groupe est cyclique, il suffit d'exhiber un générateur." Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: établir un résultat théorique en utilisant la notion de groupe quotient.

306 Exercicesfaisant intervenir pgcd et ppcm et les algorithmes associés Exercice 0 : suite de Fibonacci [Butz et Deschamps T2 ANNEAUX ET ALGEBRES ex 12] Pré requis: lemme de Gauss, caractérisation du PGCD. Travail de l'élève: utiliser les théorèmes du cours pour établir un résultat théorique Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: étude de la suite et extension au calcul du coût de l'algorithme d'Euclide

Exercice 1 : équation diophantienne ax+by=c. [Deschamps T1 PGCD ET PPCM p 517-519] Pré requis: pgcd, Bézout Travail de l'élève: utiliser l'algorithme de Bézout étendu Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: Résolution d'une équation et programmation

n p Exercice 2CNS pour que X-1 soit divisible par X-1 [Deschamps T2 POLYNOMES ex 20 et 22] Pré requis: DE dans les polynômes Travail de l'élève: récurrence,DE de polynômes Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: Dans cet exercice, on doit faire une d.e. de deux polynômes génériques. Il s'agit d'un exercice de recherche dans lequel on commence par établir une relation de récurrence entre les quotients et les restes obtenus pour les polynômes de degrés n et n-p (indication).

Exercice 3 : résolution d'un système de congruences [DEMAZURE 2.2.3 ET 2.2.4]

Pré requis: Travail de l'élève: Place dans une séquence d'enseignement: Intérêt:

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