Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

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Avec correction. Arithmétique - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Sujets d'arithmétique

103 : congruences dansℤ, anneauℤ /nℤ. Applications.

104 : nombres premiers.

106 : pgcd dans K[X] ; théorème de Bézout. Applications. La leçon sur les PGCD de polynômes (106) a donné lieu à un excellent exposé, le candidat ayant choisi de viser la décomposition en sous-espaces cycliques pour un endomorphisme, commençant par présenter son cheminement, quelques résultats partiels, puis le lien entre ces résultats et la conclusion, et à la ﬁn les démonstrations des différents points.

107 : écriture décimale d'un réel ; cas des rationnels.

140 (division euclidienne) : l’algorithme d’Euclide n’est pas toujours correctement présenté : il serait intéressant de savoirpourquoi l’algorithme s’arrête! Plutôt que de démontrer qu’un anneau particulier comme Z est euclidien, on peut sans plus de complicationsaborder un cas plus général. Attention à une erreur couramment faite :l’unicité du reste et du quotient a lieu dans K[X ] mais pas dans Z. Il est intéressant de citerau moins un exemple d’anneau non euclidien (car non principal). Lenombre de divisionsà faire au cours de l’algorithme est aussi un sujet intéressant (théorème de Lamé). On apprécierait aussi des applications, par exemple à larecherche de solutions d’équations diophantiennes.

157 : arithmétique dansℤ.

159 : algorithme d'Euclide dansℤ.Calcul de PGCD et de coefficients de Bézout. Applications.

302 : exercices faisant intervenir les notions de congruences et de divisibilité dansℤ.

303 : exercices faisant intervenir la division euclidienne.

304 : exercices faisant intervenir le théorème de Bézout.

305 : exercices faisant intervenir les nombres premiers. Les définitions intervenant dans les propriétés énoncées doivent être connues. Les propriétés sur les congruences doivent rapidement pouvoir être démontrées. Le théorème de Wilson ne constitue pas un test de primalité particulièrement efficace.

306 : exercices faisant intervenir les PGCD et PPCM et mettant en oeuvre les algorithmes associés.

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