Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

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Groupes : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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340 exercicesfaisant intervenir les groupes en géométrieflash Tout est dans D-J M et Ladegaillerie et Goblot Exercice 1 : groupe sur une conique pour résoudre un problème géométrique : les TRPI.De tête. Pré requis: repère adapté à une hyperbole, l'intersection d'une droite et d'une conique non dégénérée est vide ou singleton ou paire, changement de base. Travail de l'élève: résoudre une équation diophantienne, test de la précision d'un logiciel de géométrie dynamique. Place dans une séquence d'enseignement: recherche Prolongations: sur le même modèle : équation de Pell Fermat, C(n,p-1)=C(n-1,p). Intérêt: construire un groupe sur un objet géométrique, méthode extensible à d'autres problèmes.

Exercice 2 : condition pour que le groupe d'une partie finie du plan soit de cardinal 2n.D-J M th 235. Pré requis : un sous groupe fini de K*, K corps commutatif, est cyclique. Travail de l'élève : Place dans une séquence d'enseignement : td Prolongations : néant. Intérêt : dans le cours ont été vus les théorèmes de majoration des groupes d'une partie finie du plan et les groupes diédraux. Il s'agit d'établir une réciproque en utilisant un résultat général du cours sur les groupes.

Exercice 3 : condition pour que le groupe d'une partie du plan intersecte le groupe des translations en un monogène infini : il y a 7 groupes de frise ← DEVELOPPEMENTGoblot Indication: commencer par identifier les images possibles de G par le morphisme direction. Pré requis : classification des isométries affines et vectorielles du plan. Travail de l'élève : une contrainte sur le groupe d'une partie étant donnée, déterminer les groupes et les parties possibles. Place dans une séquence d'enseignement : recherche. Prolongations : groupe de pavage. Intérêt : déterminer tous les modèles de frise possibles.

Exercice 4 : déterminer le groupe de deux droites non coplanaires dans l'espace.D-J M Indication: utiliser le plan médiateur du segment porté par la perpendiculaire commune aux deux droites. - + Pré requis: Is(P)=s o Is (P), les isométries de l'espace, Travail de l'élève: Place dans une séquence d'enseignement: td Prolongations: Intérêt:

Exercice 5 : déterminer le groupe du tétraèdre.D-J M - + Pré requis: Is(P)=s o Is (P), lorsque P est finie : #G≤n! Travail de l'élève: utiliser la géométrie du tétraèdre et les théorèmes du cours pour déterminer les isométries qui conservent le tétraèdre. Place dans une séquence d'enseignement: td Prolongations: groupe d'un simplexe en dimension n. Intérêt:

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