Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Ds n-3 nov 2010
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Terminale S3DS de Mathématiques n° 319 Novembre 2010 Durée : 4 heures Exercice 1Pondichérypoints) Extrait (5–Mars 2003 On considère la fonction numériquef définie surpar : Le graphique cidessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthonormal.

ConjectureÀ l’observation de cette courbe, quelle conjecture pensezvous pouvoir faire concernant le sens de variations def sur [3 ; 2] ? Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non cette conjecture et de la compléter. Contrôle de la conjecture

1.Calculerf'(x) pour tout réelx, et l’exprimer à l’aide de l’expressiong(x) , où g est la fonction définie surpar : 2.Étude du signe deg(x) pourxréel. a.Calculer les limites deg(x) quandx, puis quand tend versx tend vers. b.Calculer g'(x) etétudier son signe suivant les valeurs dex. c.g , puis dresser son tableau de variations.En déduire le sens de variations de la fonction d.Montrer que l’équationg(xcette) = 0 possède une unique solution dans. On note solution. Montrer que e.g(Déterminer le signe dex) suivant les valeurs dex. 3.Sens de variations de la fonctionfsur .

a.Étudier, suivant les valeurs dex, le signe def'(x). b.En déduire le sens de variations de la fonctionf.

Que pensezvous de votre conjecture ?

Pa e1 sur 3

Exercice 2 (6 points) Antilles Guyane–Juin 2008Soitfla fonction définie sur.par : Partie A Soit l’équation différentielle (E) :. 1.Résoudre l’équation différentielle (E’) :. 2.En déduire que la fonctionhdéfinie surparhest solution de (E’).3.Vérifier que la fonctiongdéfinie surparest solution de l’équation (E).4.En remarquant quef=g+h, montrer quefest une solution de (E). Partie B On nomme Cfla courbe représentative defdans un repère orthonormald’unité 1 cm.1.Montrer que pour toutxde ona :. 2.Déterminer la limite defla limite deen puisfen . 3.Étudier les variations de la fonctionfet dresser le tableau de variations def. 4.Tracer l’allure de la courbe Cf dans un repère adapté. Exercice 3(4 points) Extrait Antilles  Guyane Sept 2009 Soit lafonction définie pour tout nombre réelde l’intervalle ]0; 1] par : On notela fonction dérivée de la fonctionsur l’intervalle ]0 ; 1]. est la courbe représentative de la fonctiondans un repère orthonormal. est la droite d’équation. 1.a.Justifier que. b. Ensur ]0 ;utilisant le signe de, on a1], montrer que, pour tout nombre réel . 2.a.Calculer pourtout nombre réel. b.Vérifier que la droiteT est tangente à la courbeau point d’abscisse 1.3.On notegpar la fonction définie pour tout nombre réel .a.Étudier les variations degsur l’intervalle ]0; 1] et dresser le tableau de variation deg.b.et de la droiteEn déduire les positions relatives de la courbeT.

Pa e2 sur 3

Exercice 4(5 points) La Réunion–Juin 2008Le plan complexe est rapporté à un repèreorthonormal direct. Soit (C) le cercle de centreOet de rayon 1. On considère le pointAde (C)d'affixe . 1.du pointDéterminer l'affixeBimage deApar la rotation de centreO.et d'angle Déterminer l'affixedu pointCimage deBpar la rotation de centreO.et d'angle 2.a.Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangleABC.Construire les pointsA,BetCsur une feuille de papier quadrillé. b.Quelle est la nature du triangleABC? Justifier. 3.Soithl'homothétie de centreOet de rapport −2.a.Compléter la figure en plaçant les pointsP,QetRimages respectives des pointsA,Bet C parh.b.Quelle est la nature du trianglePQR? Justifier. 4.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.a.Donner l’écriture complexe deh.b.Calculer .En déduire queAest le milieu du segment [QR].c.Que peuton dire de la droite (QR)par rapport au cercle (C) ?

Bon courage…

Pa e3 sur 3

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