Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Terminale S3 DS de Mathématiques n° 4 25 Février 2010
Durée : 4 heures


Exercice 1 (5 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O;u,v) d’unité 1 cm.

1. Restitution organisée de connaissances
On rappelle que le point M’ est l’image du point M par la rotation r de centre  et d’angle de
 MM'   (1)mesure  si et seulement si : . 
M, M' k2 ,k  (2) 
a. Soient z, z’ et  les affixes respectives des points M, M’ et  .
Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments.
z '   z '  
 (1) : M '  M  z '  z    1   1 ;
zzz z

zz''
z '  (2) : M; M '   à 2k  près arg =  à 2 k près .   
z  
b. En déduire l’expression de z’ en fonction de z,  et  .
z '  Ainsi, le nombre complexe a son module égal à 1 et un de ses arguments égal à  ; une de ses
z  
z '  ii i  i  i formes trigonométrique est donc 1ee ; Soit  e  z''   e z    z  e z     .    
z  
22. Résoudre dans l’ensemble  des nombres complexes l’équation : zz4 3 16 0 .
On donnera les solutions sous forme algébrique.
2
  4 3  4 1 16  16  0 donc l’équation admet 2 racines complexes conjuguées, à savoir :  
4 3  4i
zi  2 3  2 et z  z  2 3  2i . 1 21
2
3. Soient A et B les points d’affixes respectives ai2 3 2 et . bi2 3 2
a. Écrire a et b sous forme exponentielle.
  i i31    6 6ai 2 3  2  4 et a  4  i  4 cos   isin  donc ae 4 et ba 4e .    2 2 6 6   

b. Faire une figure et placer les points A et B.

c. Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
OAa 4 ;
OB  b  a  a  4 ;
AB  b  a  b b  2i Im b  2i 2  4i  4 ;  
OAB est donc un triangle équilatéral (de côté 4).

2 4. Soit C le point d’affixe ci8 et D son image par la rotation de centre O et d’angle .
3
Placer les points C et D. Montrer que l’affixe du point D est di4 3 4 .
2 
i 133L’affixe du point D est di4 3 4 : D’après le 1., d  e c  0  0    i 8i  4 3  4i ; CQFD !     22
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5. Montrer que D est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le
rapport.
On a : d  4 3  4i  2 2 3  2i  2b  z 22z  OD  OB  D  h B ;    O;2OD OB
D est donc l’image de B par l’homothétie de centre O et de rapport 2.

6. Montrer que OAD est un triangle rectangle.
 Méthode 1 :
OD  2OB donc B est le milieu de [OD] ; en tenant compte du 3.c., il vient alors : BO = BA = BD.
Le cercle circonscrit au triangle OAD est donc le cercle de diamètre [OD] ;
Le triangle OAD est donc rectangle en A.
0  a 2 3 2i 2 3 2i
 Méthode 2 : 
da 2 3  6i4 3  4ii 2 3 2   
2 3  2ii2 3  6 12 12i 12 3 4 3       3
  i ;
12  36 48 3
03 a donc arg =arg i =AD; AO donc le triangle OAD est rectangle en A.   da 3 2 2 




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Exercice 2 (4 points)
On donne la représentation graphique d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle I = [−3 ; 8].
B E D
A O

x
F x  f t dtOn définit la fonction F sur I par     . 0
1. a. Que vaut F(0) ?
0
F00f t dt    0

b. Donner le signe de F(x) pour x  0 ;4 ; pour x3;0 et justifier les réponses.    
x
 pour x [0 ; 4] : sur [0 ; 4], f est positive donc sur [0 ; x] ; par conséquent, F x  f t dt  0.    0
0
 pour x [−3 ; 0] : sur [ 3 ; 0], f est négative donc sur [x ; 0] ; par conséquent, f t dt  0 d’où  x
x 0
F  x   f  t dt   f  t dt  0. 0 x

c. Faire figurer sur le graphique les éléments permettant de justifier les inégalités 6F 4 12 .  
4
f étant positive sur [0 ; 4], F 4  f t dt représente l’aire – en u.a.) sous la courbe de f sur [0 ; 4] ;    0
Il est clair que cette aire est supérieure à celle du triangle OAB (qui vaut 6) et inférieure à celle du
rectangle OBDE (qui vaut 12).

2. a. Que représente f pour F ?
f représente la dérivée de F car, f étant continue sur [- 3 ; 8], F est sa primitive sur [ 3 ; 8] qui s ‘annule
en 0
b. Déterminer le sens de variation de la fonction F sur I. Justifier la réponse à partir d’une lecture
graphique des propriétés de f.
 f étant négative sur [  3 ; 0], F est décroissante sur [ 3 ; 0] ;
 f étant positive sur [0 ; 4], F est croissante sur [0 ; 4] ;
 f étant négative sur [4 ; 8], F est décroissante sur [4 ; 8] .

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En résumé :
x 0 4 8 3
f(x)  0 + 
F(4) F( 3)
F(x)
0 F(8)

3. On dispose de deux représentations graphiques sur I.

Courbe A Courbe B
L’une de ces courbes peut-elle représenter la fonction F ? Justifier la réponse.

Bien que leurs variations soient en accord avec celles de F, aucune des 2 courbes ne peut représenter
la fonction F car :
 Pour A : F(0)  0 (cf. 1.a. ) ;
 Pour B : F(4)  [6 ; 12] (cf. 1.c.) .


Exercice 3 (4 points)

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent
être traitées indépendamment l'une de l'autre.

PARTIE A :
On définit :
14
 la suite u par : u 13 et, pour tout entier naturel n, u u . n 0 nn1
55
n
 la suite S par : pour tout entier naturel n, S u u u u u . n n k 0 1 2 n
k 0
12
1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel nu,1 . n n5
En déduire la limite de la suite u . n
12
Initialisation : u 1  1 12 13 : vrai ; 0 05
12 12
Hérédité : supposons qu'il existe un naturel p  0 tel que u 1 ; alors est-ce que u 1 ? p p 1p p 15 5
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1 4 1 12 4 1 4 12 12
uu  11       : l'hérédité est bien démontrée. pp1  p p11 p5 5 5 5 5 5 5 5 5
12
On a donc pour tout entier naturel nu,1  . n n5
12
Comme lim  0 alors lim u 1. nnn    n   5

2) a) Déterminer le sens de variation de la suite S . n
On a S S u . Par une récurrence immédiate, on a u  0 , ce qui entraîne que la suite S est  n11n n n n
croissante.

b) Calculer S en fonction de n . n
D'après la question 1.,
nn12 12 12 1   
S 1   1   (n 1) 1   (n 1) 12 . n    0 n k k5 5 5 5   kk00
Le deuxième terme de la somme précédente est la somme des (n 1) premiers termes d'une suite
1
1 n n 11 1 1 5 15géométrique de raison , soit avec T     1  . n  kn01 15 5 5 4 5k 0 1 
5
n 1 5 1 1 3   
D'où S  (n 1) 12  (n 1) 12  1   (n 1) 15 1   n 16  . n    k n11 n n5 4 5 5 5   k 0

c) Déterminer la limite de la suite S . n
3 3
limSn lim 16     car lim  0 . n  n nnn      n 5 5

PARTIE B :
xEtant donné une suite , de nombres réels, définie pour tout entier naturel n , on considère la suite n
n
S définie par Sx . n nk
k 0
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.
Justifier dans chaque cas.

 Proposition 1: si la suite x est convergente, alors la suite S l'est aussi. n n
FAUX : la suite u de l'exercice ci-dessus est convergente, alors que S diverge.    n n

 Proposition 2 : les suites x et S ont le même sens de variation. n n
1
FAUX : la suite u de l'exercice ci-dessus est décroissante car la suite de terme général l'est et on  n n5
a vu que la suite S est croissante. n
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Exercice 4 (7 points )

PARTIE A : restitution organisée de connaissances
On suppose connus les résultats suivants :
Soient u et u deux fonctions continues sur un intervalle [ab; ] avec ab
b
 si pour tout x [a ; b] u(x) 0 alors u(x)dx 0
a
b b b
 [u(x) v(x)]dx u(x)dx v(x)dx
a a a
bb
 u(x)dx u(x)dx ou est un nombre réel.
aa
Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [ab; ] avec ab et si pour
bb
tout x de [a ; b], f(x) g(x) alors : f(x)dx g(x)dx.
aa
b
Pour tout x de [a ; b], f(x) g(x) soit 0 g(x) f(x) donc, d'après i. , g(x) f(x) dx 0
a
bb bb
puis en utilisant ii., g(x)dx f(x)dx 0 et iii. g(x)dx f(x)dx 0 et enfin
aa aa
bb
g(x)dx f(x)dx .
aa

PARTIE B :
Soit la fonction définie sur l'intervalle [1 ; [ par
22(x) 1 x 2x lnx.
1. Etude de la fonction
a. Étudier le sens de variation de la fonction sur l'i