Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Terminale S3 SpécialitéDS de Mathématiques n° 423 février 2012 Durée : 4 heures Exercice 1points) (3 On se propose de déterminer toutes les fonctionsfdéfinies et dérivables sur l'intervalle ]0 ;[ vérifiant l'équation différentielle (E) :. 1.a.Démontrer que sif est solution de (E)alors la fonctiong[ pardéfinie sur l'intervalle ]0 ; est solution de l'équation différentielle (E’) :. b.Démontrer que sihest solution de (E’)alors la fonctionf définie parest solution de (E). 2.Résoudre (E')et en déduire toutes les solutions de (E).3.Existetil une fonctionf solution de l'équation différentielle (E)dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le pointA(ln 2, 0) ? Si oui la préciser.

Exercice 2 (7 points)

Soitfla fonction définie surpar .On note (C) la courbe représentative defdans un repère orthonormal. Partie A 1.Étudier les variations de la fonctionfsur . 2.Déterminer la limite defen . 3.Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation. Partie B On considère la suiteà termes positifs définie par :u1= 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, . 1.Démontrer que, pour tout réelxOn pourra étudier la fonctionpositif, .gdéfinie sur par . 2.En déduire que, pour tout entier natureln.non nul, 3.Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul,. 4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul,. 5..En déduire la limite de la suite Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entiern.supérieur ou égal à 2, 6.a.Démontrer que, pour tout entierksupérieur ou égal à 2, on a :. b.En déduire que, pour tout entiern.supérieur ou égal à 2, on a : 7.Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a montré que.

Démontrer que la suite

converge vers 1.

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Exercice 3 (5 points)

Cet exercice ne concerne que les élèves suivant la spécialité

Dans le plan orienté, on considère un triangleABCrectangle isocèle de sommet A et de sens direct c’est àdire tel que. On noteA’,B’,C’ les milieux respectifs des segments [BC], [CA], [AB].

SoitR la rotation de centreA’et d’angleetT la translation de vecteur On poseet . 1.a) Détermineret . b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques def et deg. 2.a) Soitla transformation réciproque def et. Quelle est la nature de la transformationh. b)Déterminer etcaractériserh. c)SoitMet un point quelconque du plan. On pose Quelleest la nature du quadrilatère?

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NOM :………………. Classe:……………Annexe à compléter et à rendre avec la copie Prénom :…………….Exercice 4( 5 points ) Pour chacune des 10questions, répondre par « vrai » ou « faux »,sans justification. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.Si le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à 0.1., et.On considère les nombres complexes Vou FVou F | u | = 24et .| v | = 12et . Si n est un entier naturel multiple de 3, n estnégatif.un réel alors uest unréel négatif. . 2.Le plan est muni du repère orthonormal direct. A, B et C sont les points d’affixes respectives 1,–.2 i et Vou FVou F L’ensemble des points M d’affixe zL’ensemble des points M d’affixe zvérifiant estla vérifiantest le droite ( AB ).cercle de centre B et de rayon 4. Le triangle ABC est isocèle.est un réel négatif. 3.et on poseDésormais, on suppose. On désigne par M le point d’affixe zet M’ le point d’affixez’. Alors : Vou FVou F . BM×AM’ = 6

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