Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première
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Avec correction. Complexes loi binomiale
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Première STLCH
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Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Première STLCH
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DS N°6MATHEMATIQUES TERMSTIL 20122013 Exercice 1 ip/ 6%2ip/ 3 z1 %#i Onconsidère, les nombres complexesz14e;z14eet ,C.2 2 A B Leplan complexe est muni d’un repère orthonormé.Les parties I et II sont indépendantes Partie I : Q. C.M. Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification NOTATION:chaque réponse juste rapporte0,5point ; une réponse fausse enlève0,25point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, il est ramené à0. 1 1.Le nombre complexeZ zzest : 1A B RéponseA :un nombre réel positifRéponse B :un nombre réel négatif RéponseC :un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe prishors des axes 6 2.Le nombre complexeZ1zest : 2A RéponseA :un nombre réel positifRéponse B :un nombre réel négatif RéponseC :un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe prishors des axes z 3.Le nombre complexe conjugué deAest : ip/ 6i7p/ 6 RéponseA :%Réponse B : 4e4e 1 %ip/ 6 %ip/ 6 RéponseC :Réponse D :e 4e 4 z 4.Le nombre complexeCpeut se mettre sous la forme : %ip/ 43ip/ 4 RéponseA :2 2eRéponse B :2 2e 5ip/ 43ip/ 4 Réponse D : RéponseC :2 2e4e Partie II z zz Onconsidère les points A, B et C d’affixes respectivesA,BetC. 1.SoitMun point du plan d’affixez. z%z a.Interpréter géométriquement |A|. z%z z%z b.Quel est l’ensemble des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie l’égalité : |A| = |B|. c.Vérifier que le point C appartient à l’ensemble D 2.Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. 3.Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC. Exercice 2 Laplan est muni d'un repère orthonormé direct(O;u,v)l'unité graphique 1 cm. Ondésigne parile nombre complexe de module 1 et l'argumentp/ 2. 1.On considère les points A, B et C d'affixes respectives : z1 %3 3#3i;z1 %3 3%3i etz1 %6 3 ABC z a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexesAetzB. iq z b.Ecrire le nombre complexeAsous la formeoùrest un nombre réel strictement positif re %pp etqet .un nombre réel compris entre c.Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère(O;u,v) uuur uuuruuur z1z%z z1z%z z1z%z 2. CalculerB A;C AetC B puis calculerAB;ACetBC AB ACBC 3. a.Déterminer la nature du triangle ABC. b.En déduire que le quadrilatère OACB est un losange. 1 ´ 4. On appelle K le point du plan complexe tel quezKi zA a.Donner la forme algébrique , puis la forme exponentielledez K
b.Démontrer que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O. c.Construire le point K sur la figure. Exercice 3 p Onnoteile nombre complexe de module 1 et dont l’argument est. 2 z1 #i3z1 Onconsidère les points A ,B et C d’affixes respectives :A3 ;z1zA;C2 . B z zz 1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombresA;BetC.
z 2. Ecrire les nombres complexesAetzBsous forme exponentielle .
3. Placer les points A,B et C sur une figure .
4. Déterminer l’affixe du pointAdu point A par rapport au point C.' symétrique
5. Montrer que les pointsA,B,A' etOappartiennent à un même cercle de centre C . Onprécisera le rayon de ce cercle .
6. Dans cette question toute trace de recherche , même incomplète , ou d’initiative même infrectueuse Seraprise en compte dans l’évaluation . Montrerque la droite (AC) est une médiane du triangle OAB.
Exercice 1 Partie I ip/ 6%2ip/ 3 z1 %2#2i On considère, les nombres complexesz14e;z14eet ,C. AB 1.Le nombre complexeZ1z´zest : 1A B ip/ 6%2ip/ 3ip/ 6%2ip/ 33%ip/ 6i%p/ 2 1 ´1 11 1%.Doz1 %16iest un imaginaire pur. z4e4e16e16e16e16inc1 A Réponse A :un nombre réel positifRéponse B :un nombre réel négatif Réponse C : un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe prishors des axes 6 6 6 6ip/ 6ip 2.Le nombre complexeZ1zest :Z1(z!14e1(4!e1 %4.qui est un réel négatif. 2A2A( ! Réponse A :un nombre réel positifRéponse B : un nombre réel négatif Réponse C :un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe prishors des axes ip/ 6%ip/ 6 3.Le nombre complexe conjugué dezest : Az14e14e A ip/ 6i7p/ 6 Réponse A :Réponse B : %4e4e 1%p/ 6 i %iπ /6 Réponse C :Réponse D :e 4e 4 4.Le nombre complexezpeut se mettre sous la forme : C æ ö %2 2 3ip/ 4 z1 %2#2i12 2#i12 2(cos(3p/ 4!#isin(3p/ 4!!12 2e C ç ¸ 2 2 è ø %ip/ 43iπ/4 Réponse A :Réponse B : 2 2e2 2e 5ip/ 43ip/ 4 Réponse C :Réponse D : 2 2e4e Partie II uuuuruuuur n point d’affixe.;est l’affixe du vecteurz1z%z1AM 1.a. Soit M uzz1z%z M AAMM A AMAM z%z Le moduleM Aest égal à la longueur AM. De même,zM%zBest égal à la longueur BM b.z%z1z%zÛAM1BMÛM appartient à la médiatrice du segment[AB]. M AM B l'ensembleD cherchéest l'ensemble des points équidistants de A et de B, c'est doncla médiatrice du segment[AB]. æ öæ ö æpö æpö3 1 ip/ 6 c.z14e14 cos#isin14#i12 3#2i Aç ¸ç ¸ ç ¸ç ¸ 6 62 2 è øè ø è øè ø æ öæ æö æ2pö æ2pö æ2pö æ2pö1 3 %2ip/ 3 z14e14 cos% #isin% 14 cosi%sin14% %i12%2%3i Bç ¸ç ¸ç ¸ç ¸ ç ¸ç ¸ç ¸ 3 33 32 2 è øè øè øè ø è øè øè ø AC1z%z1 %2#2i%2 32%i12%2%3 212#3. C A BC1z%z1 %2#2i#2#2 3i12i#2 3i12#2 3, doncAC1BC.et par conséquent , le point C C B appartientà l’ensemble D. 3.AB1z%z1 %2%2 3i2%3 2i% 1(2%2#3! (2%2#3!i B C 2 22 D'une partAB1(2#2 3!#(2#2 3!12(2#2 3!1(2#2 3!2 2 22 2 22 2 2 D'autre partAC#BC12#2 3#2#2 312 2#2 31AB,doncAC#BC1AB . ( !( !( ! Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore,le triangle ABC est rectangle en C. 4.Le point C appartient à la médiatrice de [AB] donc AB = AC donc le triangle ABC est isocèle en C. Deplus, il est rectangle en C.Donc le triangle ABC est rectangle isocèle en C
Voiciun graphique permettant d'illustrer l'exercice (cette figure n'était pas demandée). y
C
3
2
A
1 | v o | ux -4 -3 -2 -1 01 2 3 4
-1
-2
-3 B -4 Exercice 2 1. a)Calcul du module et d'un argument dez1 %3 3#3i: A 2 ² 279 366qzq zA1a²#b²1(%3 3!#31 11 #. SoitAun argument deA;Aest tel que : ì a%3 3%3 cosq1 11 ïA z6 25p ïA 1z1 # ídonc :qAargA2kp,où k est un entier relatif. b3 16 ï sinq1 11 A ï z6 2 A î ez33 3iz z1z16 Calculdu module et d'un argument dB1 %%:B1zA, doncB A 5p etq1argz1 %argz#1 %2kp B AA 6 æ5p5p æ öæö5pi/ 6 z16 cos#isin16e 2. b) On en déduit la forme exponentielle dez1 %3 3#3i:Aç ¸¸ç ç ¸ A 6 6 è è øè øø 2. c) Pour placer les points A et B avec précision, étant donné que OA = OB = 6, on peut les placer sur lecercle de centre O et de rayon 6, en utilisant leurs ordonnées qui sont entières. 3. a) Calcul des longueurs AC et BC :on calcule d’abord l’affixe du chacun des vecteursetAC, AB uuur eneffet :z1z%z1 %6 3(%3%3 3i#!13%3 3iet C A AC 2 AC11(%3 3!#(%3!²127#913616cm uuur z1z%z1 %3%3i%3%3i#i1et AB136 6cm demêmeAB BA3(3!61. 2 uuur z1z%z1 %6 3(%3%3 3i%!31 %3 3i BC CBetBC#11 %²136 627 9cm (3 3!3# 11 Ona AC = AC donc le triangle ABC est isocèle en A. Deplus : AB = AC = BC donc le triangle ABC est équilatéral. 3. b.a AC = BC = OA = OB (= 6) donc OACD est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de mêmeOn longueur,c'est donc un losange. 1 %# 1%3%3 4. a) Voir figure : Commez1iz,zKi(3 33i!3i K A
ìa%3%1 cosq1 11 K ï z6 2 2 2ï4p A ( !z k OK1 %3#(%3 3!19#2713616cm;íqK1argK1 #2p b%3 3%33 ï sinq11 1 K ï z6 2 î A 4pi/ 3 et6 ona doi zz iz1 66OK.OA zK1e ncK1A1A1 ´1 1,doncOA1OK16cmK est doncun triangle isocèleen O, de plusK appartient au cercle de centre O et de rayon OA. uuur CalculonsAK :z1z%z1 %3%3 3i(%3%3 3i#! (313 3!%(3%3 3!i K A AK 2 2 AK11(3 3%3!#(3 3#3!127#9%18 3#27#9#18 317216 2cm. 2 2 2 22 22 2 On constate queOA#OK16#6136#36172 etAK1(6 2!172 , donc on a :OA#OK1AK, y 5 4 A 3 2 1 C O x -11 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 B -4 -5 K -6 Exercice 3 2 2 22 1.z13#i3 ,zdoncest de la forme A AzA1a#biz1a#b13#(3!19#311212 3 A z Aetz1zAsont deux nombres complexes conjugués , donc ils ont même module et on a :z12 3 BB ìaì3 3 cosq1 Acosq1 1 ï ïA z ïAï2 32 z12q1argz z12C. SoitA A.qAest défi Cpardonc nií, doncí. b 3 1 ï ï sinq1 Asinq1 1 A ïzï A2 î î2 3 p Par conséquentq1argz1 #2kpoù kÎZ. Commez1z, on déduit que A ABA 6 p z q1argz1argz1 %argz#1 %2kpoù kÎZ.C1un nombre réel positif ,donc2 est B BAA 6 q1argz10#2kpoù kÎZ. C C épæù æpö æpööip/ 6 2.z12 3;12 3 cos#isin12 3eA¸ 縸ç ç ê ú 6 ë ûè è6ø è6øø pæp pö é ùæ öæ ö%ip/ 6 e zB12 3;% 12 3 cos% #isin% 1.2 3 ç ç¸ ç¸¸ ê ú ë6û èè6ø è6ø ø 3. Voir graphique . uuur uuur z1z 4. Le point A’ est le symétrique du point A par rapport au point C signifie que : AC CA'
Doncz%z1z%zÛz12z%z212´3%i%3 413%i3%1i13 . C A A'C A'C A uuur 1z1AC1z1z%z. Or% 13#3%211#3 ,donc 5.OCC2;AC CAzCzAi i 2 uuur uuur 2 z1z AC11#(3!1412, et comme, on a :AC1AC'12 AC CA' 2 uuur2 BC1z1zC%zB .Orz%z12%3#i31 %1i#3 . BC CB.BC1(%1!#(3!11#31412 On conclut que :OC1AC1BC1CA'12 etpar conséquent les pointO,A,AB et' appartiennent a un même cercle de centre de centre C et de rayon 2. 6. De la question précédente , on déduit que le point C est équidistant des points O , A et B , donc Cest le point d’intersection des médiatrices du triangle OAB. Ilnous reste à montrer que le triangle OAB est un triangle ( isocèle en A ou équilatéral ). Onsait queOA1z1;2 3OB1z12 3; il nous reste à calculer AB A B uuur 2 3 z1zB%zA13%i3%3i%31 %i, doncAB1 %2 3i1, on déduit donc que le triangle2 3 AB ABCest un triangle équilatéral .or dans un triangle équilatéral les droites remarquables ( médianes, médiatrices,hauteurs et bissectricessont confondues). Par conséquent la droite(AA') estune médiane dutrian leOAB. y
3
2
1
A
O CJ -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6x
-1
-2
-3
A'
B
