Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

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Dérivation d'une fonction composée
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale ES

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1 sur 4

DERIVEE D'UNE FONCTION COMPOSEE

I. Théorèmede base (admis)

Théorème I.1. Soientuetgdeux fonctions telles quegouexiste sur un intervalle I.Si uun réelest dérivable enxde I et sigest dérivable enu(x)alors la fonction composéef=gouest dérivable enxet sa dérivée est donnée par la formule

f'(x)=(gou)'(x)=g'[u(x)]×u'(x)

Remarque. g'(u(x))=g'[u(x)]est la dérivée degappliquée àu(x)etu'(x)est la dérivée deucalculée enx.

Exemple. On a vu dans l'exercice résolu B p13 (collection DECLIC) que siuet 1 2 gsont telles queu(x)= +2 etg(x)=x− 2 alorsgouest définie sur x } ℝ ∖{etuogest définie surℝ ∖{−√2;√2} 0 Démontrons quegouest dérivable en1: 1 uest dérivable en1 etu(1)= +2 = 3.La fonctionpolynômegest 1 dérivable surℝdonc en particulier en 3. 1 (gou)'(1)=g'[u(1)]×u'(1)=g'(3)×u'(1). Oru'(x)= −2et x 1 e g'(x)= 2x.Doncu'(1)= −2tg'(3)= 2×3 = 6. 1 Donc(gou)'(1)= 2×6 = 12 Démontrons queuogest dérivable en3: 2 g3 etest dérivable eng(3)= 3− 2= 7. Oruest dérivable en7. 1 1 (uog)'(3)=u'[g(3)]×g'(3)=u'(7)×g'(3)avecu'(7)= −2= −et 7 49 g'(3)= 2×3 = 6.

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2 sur 4

1 6 Donc(uog)'(3)=u'(7)×g'(3)×6 =−= − 49 49

Exercice 1. p 29 n° 59 Exercice 2. p2 30 n° 65

EXERCICE RESOLU F p 17

II. Nouvellesformules de dérivation

II.1 Dérivationd'une fonction puissance

Théorème II.1. n Siuest dérivable sur unintervalle I et sin, alors la fonctionuest dérivable sur I et pour tout réelxde cet intervalle , on a n n− 1 (u)'(x)=nu(x)×u'(x)

Démonstration. n nn−1 uest la fonctionusuivie de la fonction puissanceg. Or(x)' =nx.On en déduit grâce n n−1n n−1 au théorème de base que(u)' =nu×u'donc(u)'(x)=nu(x)×u'(x)pour toutxde I.

Exemple. 2 3 Soitfla fonction définie surℝparf(x)=x− 5x+ 1 3 2 f(x)est de la formeu(x)avecu(x)=x− 5x+ 1. Doncuest dérivable surℝet d'après le thm de basefest dérivable surℝ. 2 22 f'(x)= 3×u(x)×u'(x)= 3x− 5x+ 1(2x− 5)

EXERCICE RESOLU G p17

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II.2 Dérivationd'une fonction racine carré

Théorème II.2. Soituune fonctiondérivable etstrictement positivesur un intervalle I. Alors la fonction√uest dérivable sur I et pour tout réelxde I, on a: u'(x)u' (√u)'(x)= c'està dire(√u)' = 2√u(x)2√u

Démonstration. La fonction racine carré deuest la fonctionusuivi de la fonction racine carrég.Or 1 1u' (√x)' =. On en déduit grâce au thm de base que(√u)×' =u' = 2√x2√u2√u

Exemple. 2 u(x) Soitfla fonction définie surℝparf(x)=√x+ 1.On af(x)=√ 2 avecu(x)=x+ 1. Le trinômeuest dérivable et strictement positif surℝ, doncfest x 2x dérivable surℝetf'(x)=2= 2√x+ 12 √x+ 1

II.3 Dérivationde l'inverse d'une fonction

Théorème II.3. Soituune fonctiondérivable sur un intervalle I etne s'annulant pas sur I. 1 Alors estdérivable sur I et pour tout réelxde I on a: u 1u'(x)1u' '(x)= −2c'est à dire−' =2 u u(x)u u

Démonstration. 1 11 est la fonctionusuivie de la fonction inverse g.On sait déjà que' =−, donc 2 u xx 1u' d'après le théorème de base−' = 2 u u

Exemple.

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4 7 Soitfla fonction définie sur]; +∞[parf(x)= . 5 5x− 4 k1 fest de la forme=k× oùkréel etest unu(x)= 5x− 4.une u u 4 4 s'annule pas sur]∞; +[, donc f est dérivable sur]; +∞[et 5 5 1 15 35 k' =k× 'que.On en déduitf'(x)= 7×−2= −2 u u(5x− 4) (5x− 4) puisqueu'(x)= 5

II.4 Dérivationde l'inverse d'une fonction puissance.

Théorème II.4. Soitudérivable sur un intervalle etune fonctionne s'annulant pas sur 1 I.Soitnun naturel alorsest dérivable sur I et pour tout réelxde I on n u 1nu'(x)1nu' an'(x)= −n+ 1c'est à diren−' = n+ 1 u u(x)u u

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